DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 9 3 
décimale du dixième ordre, il faudrait que la valeur primitive de 
h fût plus petite que io' al , et par conséquent que celle de i —c 
fut plus petite que io —42 . 
L’universalité de la méthode est suffisamment établie par cette 
observation; cependant lorsque i—c est extrêmement petit, on 
peut profiter de cette circonstance pour simplifier les calculs, et 
procéder d’une autre manière aux approximations. 
Dans le cas dont il s’agit, la quantité h est très-petite, et comme 
on a F —f- vlcm . 9 + ÿ- si ^ > si l’amplitude <p est telle que tang <p 
soit beaucoup plus petite que ^, on aura d’une manière suffisam 
ment approchée 
?=fé7? — lo 8 lan S (4 5 ° + i <P )• 
Si tang <p est plus grande que ~ , il faudra transformer la for 
mule proposée F (c, <p) en une autre où b soit beaucoup plus 
petit, afin que dans la transformée h tang <p devienne une quantité 
négîigeablè. C’est ce qu’il est facile d’obtenir en calculant jusqu’au 
terme convenable les modules croissans c", c\ etc. et les amplitudes 
<p" } etc. , par les formules de l’article 5g. 
Soit pour cet effet h = sin A, on aura V tang*^ A; soit de nou 
veau h' = tang 2 | A = sin A', on aura h* = tang 2 1 A', et ainsi de 
suite jusqu’à un terme h 1 '' qui ait le degré de petitesse exigé; on 
calculera ensuite les amplitudes <p, <p', tp", 3 etc., jusqu’à un terme 
qp qui corresponde à la dernière valeur de h ; et ce terme étant 
nommé «U, si l’on fait 
R' = 
2 2 _ 2 
l —J— C 1 -f- c' i ~\~c" 
etc. 
on aura 
E ( C, <p) = K' log tang (45°+ 5®'). 
Cette valeur sera exacte si on prolonge à l’infini les facteurs dont est 
composé R', et la suite dont est le dernier terme ; mais au bout 
d’un assez petit nombre de termes , on obtiendra en général tout le 
degré d’approximation qu’on peut desirer. On aurait en meme temps