Idée générale des différentes sortes de transcendantes contenues 
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(i). Nous représentons par P une fonction rationnelle quelconque 
de x, et par R le radical \Z(a-\-Çx-{~yx'-{-J'x 3 -{~ex i ) : ce radical 
restant le même, on peut donner une inimité de valeurs à P ; 
mais il n’en résulte pas pour cela une infinité de transcendantes de 
nature différente. On peut toujours par des intégrations partielles, 
/ ÏPdoo 9 f • • 
-g— à une partie algébrique , plus un certain 
nombre de transcendantes, qui sont toujours de la même forme et 
de la même nature. C’est ce qu’il s’agit de développer. 
Supposons d’abord que P soit une fonction entière de x, ensorle 
qu’on ait P=A-{-B^+Gx !l +....+ Rx*. Si on représente , pour 
/ oc^ doc • • 
par fl'", il est clair qu’on aura 
= AIT+ BlP-f-Cn 1 + 4-KJT 
or ? en difierentiant la quantité x m ~' 3 R, et revenant de la différen 
tielle à l’intégrale, on trouve cette formule 
x m - s K = ( m— 3 ) {in — | ) £n m—3 -J- ( m — 2 ) y n" 1 ”* 
«4- (m — |)cTn' n ~ , 4- — J ) <=n m ; 
4 PREMIÈRE PARTIE; 
dont elle est susceptible, de les évaluer par les approximations les 
plus promptes et les plus faciles ; enfin, de former de l’ensemble 
de cette théorie une sorte d’algorithme qui pût contribuer à étendre 
le domaine de l’analyse. 
Ayant repris la suite de ces recherches , après une longue inter 
ruption , j’ai réussi à perfectionner cette théorie dans quelques 
parties, principalement dans celle qui concerne les fonctions ellip 
tiques de la troisième espèce. Ces améliorations étaient de nature 
à apporter quelque changement à mon premier travail ; j’ai donc 
cru devoir traiter cette matière dans un nouvel ordre, en lui 
donnant de plus grands développemens et l’éclaircissant par des 
exemples choisis. C’est le résultat de ce dernier travail que je pré 
sente dans ce moment aux Géomètres ; j’espère qu’ils voudront bien 
l’accueillir comme une nouvelle branche d’analyse qui peut offrir de 
belles et d’utiles applications.