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DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
et en general F(c,fl) = 0+0 _ _J_ F -( c ). 
Les cas qui donnent lieu à la réduction de la fonction H, sont donc 
tous ceux où le paramètre n , de forme — c 2 sin a 8 , est tel qu’on a 
F (c, 8) = F‘(c) y P étant un entier. La même réduction aurait 
encore lieu si on avait F(c, 8) = 21 F 1 ^), 2v + i étant un 
nombre impair quelconque. 
Les formules d’approximation que nous venons de donner pour 
déterminer la valeur des fonctions H et H 1 , peuvent s’appliquer à 
tous les cas, et le plus souvent il ne faudra calculer que fort peu 
de termes pour obtenir un grand degré de précision. Cependant 
si la différence i — c était tellement petite qu’il fallût prolonger 
assez loin la suite c°, c°°, c°° 9 , etc. pour parvenir à un terme négli 
geable c^ 9 il pourrait être préférable de suivre la seconde méthode , 
c’est-à-dire , de faire les transformations dans un ordre inverse , ainsi 
que nous l’avons pratiqué en pareil cas relativement aux fonctions 
de la première et de la seconde espèce. 
(87). Et d’abord si la différence 1 —- c est déjà assez petite pour 
qu’elle puisse être négligée, on pourra intégrer immédiatement la 
formule H = /Y A 4 en mettant cos <p au lieu de 
J \ 1 -f- n sur p/ A 7 
A , ce qui donnera 
TT /a. B \t a //t'a . 1^\ B arctang (v/rasin <p) 
H=(A+~)logtang(45°+i?)- îq -. -, 
Cette intégrale est rigoureuse lorsque c = 1 ; mais s’il y a une diffé 
rence, quelque petite qu’elle soit, entre 1 et c, elle ne pourra s’ap 
pliquer sans erreur à des valeurs de <p plus grandes qu’une certaine 
limite. En effet, la quantité A qui en général est y/(cos 2 <p-j- ¿ 2 sin s (p), 
ne se réduit à cos <p que lorsque cot <p est censé beaucoup plus 
grand que h. C’est pourquoi il convient de chercher une formule 
qui donne la valeur de H pour toute valeur de <p , dans l’hypothèse 
seulement qu’on puisse négliger les termes affectés du facteur h 
élevé au quarré ou à une puissance supérieure. 
Pour cet effet nous supposerons qu’il a été fait dans la fonction II