DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
JTJ 
donc on a 
\ \ arc tan s (U 71 s ’ n 
\/n 
1 + 7Î 
log (l±£+\ 
° \I C Sin (b/ 
La plus grande différence entre ces deux limites de P a lieu lors 
que <p = 90% et comme 011 a dans ce cas F 1 (c) = log log (^—j£) 
~ 2 log j , cette différence = ——— • 7 log 2. Elle est, comme on 
voit, de l’ordre des quantités qu’on veut négliger. Ainsi on a avec 
une exactitude suffisante, 
P = arc tang (v/h sin <p) — F (c, <p) , 
ce qui donne la fonction cherchée 
H = (A+^)F( C , ? )- 
B 
arc tan g {{/n sin ç> ) 
\/n 
et il en résulte pour la fonction complète, 
b \ / , r 7 * \1 4 b 
H -( A +rTï)( 1 +i i, J lo eî 
I + TL ' 
arc tang ( \/n ) 
\/n 
Ces valeurs de FI et de H* sont celles qu’il convient d’employer si 
les quantités de Tordre h 2 sont négligeables , et alors il n’y a pas lieu 
de recourir aux transformations ; mais il convient d’examiner parti 
culièrement le cas où n est négatif. 
Le cas de n = — 1 + h % siri a Q, où n-f-1 serait de Tordre ¿*, ne 
permet pas qu’on lui applique avec succès les formules précédentes, 
c’est pourquoi nous l’avons évité par une transformation qui rend n 
positif. 
Le cas de n=z — c 2 sin 2 G ne souffre aucune difficulté, si G n’est pas 
trop près de 90% parce qu’alors ---7— reste une quantité très-petite ; 
seulement dans ce cas, il faut changer l’expression arc ta + (Fil—+2 
11 . 1 , /1 + c sin 6sin®\ . A . r. 
en celle-ci :—r loç . ■). Mais si en meme temps ü est 
zc sm 0 0 \i — csmosmcp/ 1 
très-près de 90°, le dénominateur 1 -f- n équivalant à h a -\~ c* cos 2 0 , 
devient très-petit; cependant tant que cos G sera beaucoup plus grand 
• # 
que h , la fraction —-— ou 7—-— ; —-r demeurera très-petite , et la 
n J î + n /r+c 2 cos 2 9 r 7