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126 PREMIERE PARTIE. 
méthode précédente sera applicable ; mais si cos 0 est une quan 
tité très-petite de l’ordre h ou d’un ordre supérieur , la fraction 
cesse d’être négligeable. Pour obvier à cet inconvénient, il 
i -f - n ° ° 
faut recourir à la formule du n° 52 , au moyen de laquelle toute 
fonction de troisième espèce dont le paramètre n =— 6 ,a sin 2 0, peut 
être transformée en une autre fonction dontle paramètre//:=—c a sin a A, 
pourvu qu’entre les angles G et A on ait la relation h tang 0 tang K=. i. 
Alors on a 
A 2 , donc des deux facteurs 
1 —}- Il 1 —{— 11! * I —f- 71 * 1 "p 71 
il y en aura toujours un plus petit que h • d’où il suit qu’à l’aide 
d’une transformation , si elle est nécessaire, l’erreur de la formule 
n’excédera pas les quantités de l’ordre b; et parce que dans le cas le 
plus défavorable, qui est celui de i -f- n = i +• n =b , la valeur de 
H 1 devient très-grande et se rapporte à l’ordre ou plus exacte 
ment à l’ordre h~ x log qui est très-peu différent, il s’ensuit que 
l’erreur absolue étant de l’ordre h, l’erreur relative est en effet de 
l’ordre h% ainsi que dans les cas où n est positif. 
Nous sommes entrés dans ces détails pour prouver que lorsque 
i — c est assez petit pour être négligeable , les formules trouvées 
pour PI et PI 1 peuvent donner une approximation suffisante, sans 
exiger de transformations autres que celles qui ont été indiquées 
par les articles 5i et 52. Mais la méthode que nous allons exposer 
a l’avantage de donner une approximation indéfinie, qui s’applique 
généralement à tous les cas. 
(88). P/équation trouvée n° 84 entre H et H% s’applique aux deux 
fonctions consécutives H' et PI, et donne la transformée 
TT g TT/ , jB' r dcp cos <p ' 
I -f- C 1 + IL ’J 1+71 sin 2 <p * 
1 + C 
on aura en même temps 
II 
/ Cf A/ I B r sinV \dç' 
J 1 + n' sin y y A ' * 
et les coefïïciens n, A', B' devront être déduits des équations 
n 
rc'(/f+(/ 2 ) 
B: 
B' (1 +n f y-~h'* 
A* ô+Z/yCi+O 1 ’ 
A = A'+- 
1 +■ IL