DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 127 
On sait comment se calculent c, h', au moyen de c et <p ; il ne 
s’agit donc que d’examiner la loi de formation des quantités ri, A', B'. 
Et d’abord pour déduire ri de n , on a la formule 
= (Tqbp [»—<?+ y/(i+ »)(**■+“ «)] ; 
d’où l’on voit qu’il faut faire abstraction du cas où l’on aurait 
n = — 1 -f- ¿ 2 sin 4 6; car si ce cas avait lieu, le paramètre ri devien 
drait imaginaire, et on tomberait ainsi dans une difficulté plus grande 
que celle qu’on veut résoudre. Heureusement il n’y a aucun incon 
vénient à faire cette exception, puisque par la formule du n° 5i, 
toute fonction proposée de troisième espèce dont le paramètre est 
de Informe — i-f-£ a sin 2 9, peut être transformée en une autre dont 
le paramètre soit positif. Nous pouvons donc nous borner à considé 
rer deux cas principaux, celui où n est positif et celui où n est 
de la forme —c*sin a 9. Dans ces deux cas, on peut s’assurer que la 
valeur de ri sera toujours de même forme que celle de n , ainsi 
rien ne pourra arrêter le calcul des transformées successives. 
(89). Soit donc en premier lieu n-=.— c 2 sin“0, et semblable 
ment ri z=.—ù 2 sin 2 6', on aura par la formule précédente, 
sin a 6' = f -f- j c sin 2 9 —| cos 0A(fl). 
C’est la même loi suivant laquelle l’amplitude <p' se déduit de <p ; elle 
peut être représentée plus simplement par l’équation sin (28'—>0) = 
c sin 0. En vertu de cette loi, les angles 9, 9', 6*, etc. forment une 
suite décroissante qui s’approche sans cesse d’une limite ©, et qui 
l’atteint sensiblement après un petit nombre de termes. La suite 
des paramètres n, ri, ri, etc. converge donc de même vers la 
limite —sin® © , puisque d’ailleurs la suite c, c, c, etc. a pour 
limite l’unité. 
En second lieu, si n est positif, soit 1-f-n = ^ étant un 
angle très-petit déterminé par la valeur sin A = —, de sorte 
que si on faisait n — cot 2 9 , on aurait sin A = h sin 6. Cela posé, 
la valeur de ri sera donnée par l’équation 
= h' col 4 1 A ; 
1 —{— ri