i38- PREMIÈRE PARTIE. 
Ajoutant donc l’équation précédente avec l’équation (Y) , et 
observant que d’après la formule du n° 4y > on a rr(rc, c) -f- 
n 1 , cÿ = F l (c) -f- on trouve que les angles ô et A dispa 
raissent entièrement du calcul, et qu’il reste entre les fonctions 
complètes, pour les modules c et A, celte relation : 
1 = F 1 (c) E 1 (h) + F 1 (h) E 1 (c) — F 1 (c)F 1 (b), 
ce qui est une nouvelle démonstration du théorème de l’art. 4 2 - 
(98). Puisqu’on peut exprimer la fonction complète IT («, c) 
par des fonctions de la première et de la seconde espèce, on 
pourra exprimer de la même manière toute fonction non-com 
plète n (n, c, <p) , dont l’amplitude <p est telle qu’on ait F (c, cp) 
— AF 1 (c) , k étant un nombre rationnel. En effet, si cette relation 
a lieu, il suit des formules démontrées ci-dessus, qu’on a FI («, c, <p) 
= A.n i (», c) -f- W, W étant une quantité déterminable par arcs 
de cercle. Donc il y a une infinité de cas où la fonction H, dont 
le paramètre est à volonté, pourvu qu’il soit positif, pourra se 
réduire aux fonctions de la première et de la seconde espèce, 
et ces cas sont déterminés par un symptôme général. 
Etant donné l’amplitude <p , on peut trouver par un calcul assez 
simple, si la condition dont on vient de parler peut être remplie, 
c’est-à-dire, si la fonction F (<p) est dans un rapport rationnel avec 
la"fonction complète F 1 . Il faut pour cela calculer la valeur appro 
chée de la fonction F (cp) par la méthode de l’article 65.. Lorsqu’on 
aura déterminé l’angle O, limite des angles <p , —, etc., il 
faudra examiner si cette limite est avec l’angle droit dans un 
rapport à-la-fois simple et très-approché. Si le rapport était un peu 
composé , il ny aurait lieu à aucune réduction , attendu que la ré 
duction exige que le rapport soit exact, et que, pour peu qu’il 
fût composé, l’équation qui détermine sincp serait d’un degré 
très-élevé, ce qui rendrait peu probable que la valeur donnée de <p 
satisfit à cette équation. Mais si le rapport dont il s’agit est ex 
primé en nombres simples et qu’il paraisse au moins fort approché , 
il y aura lieu de croire qu’il est exact. Alors on s’assurera par 
les formules rigoureuses, si la valeur donnée de sin répond au