DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 1S9 
rapport A trouvé entre F(c, (p) et F'(c), ou entre <X> et | -x. Lorsque 
cela a lieu , on trouvera également par les formules rigoureuses, la 
valeur de W qui donne U (n, c, q>) = ATI 1 (n, c)-f-W ; ainsi on 
pourra déterminer U(n , c, ç>) par des fonctions de la première et de 
la seconde espèce. 
La méthode qu’on vient d’indiquer n’est autre chose que la 
méthode d’approximation par laquelle on évalue la fonction de pre 
mière espèce F(c, <p). Mais on peut pour le même objet employer 
une autre méthode qui paraît conduire plus directement au but. 
Etant donné l’amplitude (p,on calculera successivement les ampli 
tudes <p a , <p 3 , <p 4 , etc., qui donnent F (<p a ) = 2F (<p), F (<p 3 ) = 3F (<p) , 
F(<p 4 ) = 4F(P)j etc.; c’est ce qu’on fera par les formules 
tang | <p a = A tang <p 
tang ( i <p z 4- i (p ) = A tang <p % 
tang ( 7 <p 4 + t <P.) = A tang <p s 
tang (^5 + ^3) = A tang <p 4 
etc. 
Il est évident que si l’angle cp est tel qu’on ait F (c, <p ) = AF ! (c) , 
A étant un nombre rationnel - , il y aura nécessairement dans la 
suite (p # , <p 3 , <p 4 , etc. un terme <p t tel que <p v =c’est-à-dire 
qu’on devra rencontrer dans cette suite un terme <p v qui soit mul 
tiple de l’angle droit. Et comme d’ailleurs, par les raisons que nous 
avons exposées, le rapport^ devra être exprimé en nombres assez 
simples , on n’aura jamais qu’un petit nombre de termes à calculer 
dans la suite <p t , <p 3 , <p 4 , etc., pour reconnaître si les fonctions F (<p) 
et F 1 sont commensurables entre elles, et par suite sifï( n y c 3 <p) 
peut se mesurer par II 1 ( n, c). 
(99). Pour revenir à l’équation (V), nous observerons que cette 
équation servira en général à déterminer l’une des fonctions 
n(rc , c, (p), n (ri, b, 0), par le moyen de l’autre supposée connue. 
Ces deux fonctions ont des modules compïémens l’un de l’autre , et 
leurs amplitudes se déduisent réciproquement de leurs paramètres 
par les équations zz = cot a ô, /z' = cot a <p.