DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i/ f i 
dù av . r M 
Or par les formules connues on a ^ — F(Z> ? 6) et^ 
I \ Z»* sin 0 COS 9 1 , r . J 
= - E ( ^9 ; — - . ; de plus en faisant ¿ 2 tang 2 <p = » , 
(l—Z> 2 sin 2 6) 
ou a 
A sincp cos<pf- 
T Je 
dù A ( Z>, 6 ) 
A 
cos 2 (p+Z> 2 sin 2 6 sin 2 <p sintp costp 
sin <p 
donc en faisant toutes ces substitutions on aura pour le second cas , 
la formule générale 
¿ 2 sin9 cos9_ , . r Afc, ®1 
a ( h [n(re,c,^)—F(c, (?)]==( 
-c sin p cos p 
l+F(c,*)I 
[II(n',M)—cos s <?F(M)J 
?) F (£, 9)—E (c j p) F (Z>, fl)—F (c, <p) E (è, ô). 
On n’a point ajouté de constante, parce qu’en faisant ô =0 > les deux 
membres s’évanouissent. 
(ioi). Si on veut savoir ce que donne cette équation lorsque 
$ = | tT , il faudra trouver la valeur de H {ri, b, 0 ) à cette 
limite ; et pour cela, il faut d’abord supposer <p = j- — co, œ étant 
infiniment petit. Or puisque ri= ¿> 2 tang 2 (p:=£ 2 cot 2 ai, il en résulte 
^7=tang 2 6e> , et la formule du n° /fi donne 
n O', i,0)4-nCtang‘<»,i,9)=Fft0}+S^i2i? a rctaiig. AÇüiîïï&L. 
A ( C , <p) o sin tp cos <pAÇb t 6) 
Mais oo étant infiniment petit, on a 
Il(tang 2 «, fl) = F (¿,0) — M tang 2 «, 
M étant une quantité finie ; donc 
n(V,i,6)=^M+ arctang-A (c -^ tan g 9 : 
am<pcoS(p ^ 7 ' sm'V o sin ip cos(p A(6, Ô) 
Le second membre se réduit à | lorsqu’on fait ç> = j rt, donc on 
aura pour déterminer rr(/z, c), l’équation 
^|^[ n '(«, c )-F'(c) 1 = ^+F'( e )F(5,0) 
■n 
E'( c )F(i,0) —F'(c)E(i,0) 
(m).