DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, ,49 
Tous les coefficiens e'tant ainsi connus, on aura enfin l'intégrale 
1 n(«) + 
O \ S 3 
^~±n(n')<= 
1 
Bn (—m)—- F 
— arctano- sin Ç cos ? fn'\ 
\/k & * (i -f" Çsin s <p) A’"^/' 
Cette intégrale ne suffit pas pour déterminer les deux fonctions 
H (n), H (ri) ; mais si on fait attention que le radical contenu dans 
la valeur de £ peut être pris avec le signe —, et qu ainsi il y a 
une seconde valeur de £ , savoir , 
C = — vh — v \é( 1 + cos 6 + h* ) j 
on verra qu’il doit en résulter la seconde intégrale dont nous avons 
besoin. 
Si on désigne les nouvelles valeurs de m, k , B, P, Q par les 
mêmes lettres accentuées, on aura donc 
m 
c% 
k' ¡= ( C 4 -f- 2C a V COS 0 —f— j^ a ) - ~p—r" 
, m' 3 — (2 4. Ç') m /2 + (1 -f- 2 O c^m!— 
B 
P' 
Q' 
77l M + 27n'*!/ COS ô -j- Tïl'v s 
= I ^7 B' 
77/(1— BQ — 2 — g' 
p sin ô 
cos ô 
sin ô 
(* 4- p 4-B'), 
et la seconde intégrale sera 
p -^=in(„)+?^zi.n (; /) 
•B'n(—m')—if 
, 1 sin ® cos ® 
d 777 arc tang -f—- -, . . ■ ^ 
^//i ® ( 1 -f- Ç sin 1 "®) A 
il est visible maintenant que ces deux intégrales donnent les valeurs 
des fonctions H (n), n (ri), exprimées chacune au moyen des fonc 
tions Il(—m) et n(—ni). Donc en général toute fonction de troisième 
espece dont le paramètre est imaginaire , peut s'exprimer par deux 
fonctions de la meme espèce , dont les paramètres sont réels. 
Ce théorème résout pleinement la difficulté qu’on aurait pu élever