DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i.5 7 
que 2ÎT (n°, c°) • celle-ci se trouvera par la formule de l’art, ici 
parce que n° peut être mis sous la forme /ï°= —sin6 2 , en 
faisant 0 = l ( rt — à) ; on aura donc 
n* («% C -)=F‘W+èSs [^+F-( C ”)F(5%0)-E-(O")F(^«) 
—F'Ce“)E{b°, fi)]. 
i —j“Z> 
Or par les formules connues on a F 1 (c°) 
F 1 O), E'0°) 
—^ F 1 (c) -j- E‘(c) ; d’un autre côté on a aussi A8) = 
4b 
A£il!L = Ül+^: donc 
^ Z 1 °2 cin Û PAC fi O h CITI > ^ 
II 1 (/z°, C°) 
(i-f-b) 2 ’ 6 02 sin9 cos Ô sè sin A 
1-fb Vl , (1+6) V 
f 'M+ ( ^|>+£5 f 'WF(M) 
-^e-( c )fcMH^) f, WE(*% S)]- 
Il faut maintenant ramener les fonctions F (b°, 8), E(Z>°, 8) à un 
module plus petit qui se déduira de b° suivant la même loi que c° 
se réduit de c. Mais, si l’on n’y prenait garde, la notation pourrait 
induire en erreur. En effet, la quantité b° n’entre dans la formule 
précédente que comme complément du module c°, et non comme 
une quantité déduite de b par la même loi que c° est déduit de c. 
Cette loi exige que c° soitplus petit que c, au lieu que£% complément 
de c°, est plus grand que b. 
Pour éviter donc toute méprise qui pourrait venir de cette source , 
nous ferons b° = C, et nous désignerons par B le complément de C ? 
de sorte qu’on aura B = c°. Maintenant il faut exprimer F (G, 6) et 
E(C^ 8) par le moyen de F ( C°, 6°) et E (C°, 6°), ce qui se fera 
par les formules des art. 6o , 6i, et en observant que la loi des 
modules décroissans donne C° = ——^ = —j—- === b , on aura de 
i-j-B i —c° y 
eette manière les valeurs 
F(C,S) 
^F(C% 0°)=^ F (*, 0O ) 
E (C , 9) = - BF (C, 6) + 1±5 E(C% 0») + ’p?sin S° 
= ~ (rÎ) F (M°) + ^ E (MO + «n 0=