i6o PREMIÈRE PARTIE. 
W étant une quantité déterminable par arcs de cercle. Mais la fonc 
tion complète de troisième espèce 11* (¿ 2 tang 2 p, h) est réductible 
aux fonctions delà première et de la seconde espèce ; donc l’équation 
précédente donne le moyen de réduire l’une à l’autre les deux 
fonctions H (A 2 tang 2 <£ , A, A) , O (¿ 2 tang 2 <p, b, 0). Donc en général 
les deux fonctions Et (cot 2 G, c, <p), n (col 2 A, c, <p) pourront se ré 
duire l’une à l’autre, si les angles G et A des paramètres sont tels 
qu’on ait zF ( b , A ) ± AF (A, G) = /F 1 (A), z, A, l étant des nombres 
entiers à volonté. 
Soit 2 0 . n=.— i -f- A 2 sin 2 Q , la fonction fl(zz,c, <p) pourra se 
réduire à la fonction FI (A 2 tang 2 cp , b. G) par la formule du n° ioi. 
De même si l’on a ri =—i-f-A 2 sin 2 A , la fonction n (ri, c, <p ) 
pourra se réduire à la fonction II( A 2 tang 2 ip , b , A). Mais on verra, 
comme dans le cas précédent, que les deux fonctions FI (A 2 tang 2 cp, A, G), 
H (A 2 tang 2 <p, bj A), peuvent se réduire l’une à l’autre, si les angles 
G et A, déduits des paramètres n et ri, sont tels qu’on ail ¿F ( h , A ) 
rfcAF (A, G) = /F 1 (b) , k , i, l étant des entiers. Donc cette condi 
tion ayant lieu, il sera toujours possible de réduire l’une à l’autre les 
deux fonctions FI (zz, c , <p), IT (ri, c, <p). 
Soit 3°. n = —c a sin a G, la fonction FI(—c 2 sin 2 G , c, <p ) pourra 
se réduire à la fonction H (— c 2 sin 2 <p , c, G) par la formule du n° g4 ; 
semblablement la fonction FI(— c 2 sin 2 A , c, (?) pourra se réduire à la 
fonction FI (—c 2 sin 2 q>, c. A). Supposons qu’entre les angles G et A, 
déduits des paramètres, on aitlarelationz'F (c, A)=fc:AF(c, Q)=ZF 1 (c), 
i, A, l étant des entiers; alors on aura parles principes connus, 
z Fl (—c 2 sin 2 (£>,<?, A)dz AFl (—c 2 sin 2 <£>, c, G )=ZFT (—ç 2 sin a <p, c)-f-W, 
W étant une quantité déterminable par logarithmes. Donc la fonc 
tion FI(—c 2 sin 2 <p , c , A) pourra être exprimée par la fonction 
n(—c 2 sin 2 <p, c, G), et réciproquement. Donc en général, si la 
condition mentionnée a lieu, les deux fonctions FI(—c 2 sin s G, c, <p), 
If (— c 2 sin 2 A, c, <p) seront réductibles l’une à l’autre. 
On voit directement un exemple de cette réduction dans la for 
mule du n° 52. Mais le symptôme général que nous venons de 
donner, donne les moyens de multiplier à l’infini ces sortes de 
comparaisons, et prouve que toute fonction donnée de troisième 
espèce peut être transformée en une infinité d’autres qui n’en diffé 
reront que par le paramètre. 
La