164 ‘ PREMIÈRE PARTIE. 
Quant à la relation entre les angles où et <p , on peut la déduire de 
l’analyse précédente, et il en résulte 
, n sin r «A (b,cù'\ -f- cos 3 £ a 
tang | <p == T—— J- \ . 3 * -■ 
° 2 r JI COS ¿«A (ü, Cù) — Sin“ 3 A Al 
Ainsi la simple substitution de cette valeur dans l’intégrale 
/777—. doit la transformer en n 2 È*— 7 f 0 a . „ , et c’est ce 
J y (1—c 2 sm 2 (?)) 7 J y (i— ô 2 sm 3 fj) ’ 
qu’on peut aisément vérifier. 
La fonction F ( c, <p) s’exprime donc au moyen de la fonction 
F (b, 00 ) et de la fonction complète F'(^) ; car on déduit des équa 
tions précédentes, 
F(c,cp)=/3[F(^,a,)-4-|F«(% 
On peut ensuite réduire le second membre à une seule fonction; car 
ayant déjà F (b, L) = f F 1 (b) , si l’on prend un angle -\f, tel que 
F (b , ^ ) = F (b, œ) -j- F (b , J), ce qui se fera par les formules de 
l’art. 18, on aura 
F(c,< P )= V /3F(5,4); 
de sorte que les fonctions F ( c , <p ), F (Z>, 4 ) dont les modules sont 
complémens l’un de l’autre, seront toujours entre elles dans un 
rapport constant. 
On peut d’ailleurs avoir immédiatement la valeur de tang ~ <p" 
exprimée en fonction de 4 ; il suffit pour cela de substituer dans 
la valeur déjà trouvée de tang ~ <p, celles de tang ^ où et A ( à, 00) 
qui sont 
sin 4-A ( h , O — sin ¿'A {h , 4,) 
tang i où 
A(£,A)); 
cos 4- -f- cos i 
A (h j 4 ) A (b, P) -f- b 2 sin 4- sin -T cos 4- cos £ 
1 —c 2 sin 2 4- sin 2 ^ 
et cette substitution n’oifre aucune difficulté. 
(118). Cbercbons maintenant la valeur de la fonction de seconde 
espèce E(c , <p) exprimée par la fonction E (b 9 a), ou, s’il est né 
cessaire par les deux fonctions E (b, où) , F («5, co). Le moyen qui 
se présente naturellement est de substituer la valeur connue de