i 7 6 . PREMIÈRE PARTIE. 
(124). Supposons en second lieu que la base du cône soit une 
ellipse. Soient h la hauteur du cône ,f et g les coordonnées du 
point où la perpendiculaire h rencontre le plan de la base, f étant 
prise dans la direction du demi-grand axe de l’ellipse i , et g dans 
celle du demi-axe conjugué b. Soit <p l’amplitude d’un point quel 
conque de l’ellipse , les coordonnées de ce point seront x=sincp , 
j = b cos <p , et l’élément de la courbe ds = A dtp ; si du sommet ou 
mène une perpendiculaire sur la tangente en ce points le quarré de 
Ti- . ,, 1 /p-cos <p + èfsintp—èV 
celte perpendiculaire aura pour expression hr -f- r2 ) » 
donc l’élément de la surface du cône sera 
dZ-=.\ d<P ^/[/i a (î — c 2 sin*<p) -f- (# cos bf sin <p — ¿) a ]. 
Celte différentielle paraît fort composée j cependant si on fait 
tangi<p=3, ce qui donne sm(p=:—^, cos<P=7qp7 a >«<P= 
on aura la transformée 
dZ = V U 1 * ( 1 + z a ) s — ^ 4-— (#+ 5 a ) a ] ; 
et puisque la variable sous le radical ne passe pas le quatrième degré, 
il est clair qu’on pourra trouver l’intégrale Z au moyen des fonctions 
elliptiques. De plus, comme il suffit pour avoir la surface totale du 
cône, de connaître l’intégrale lorsque <p = 2 7c, il semble que le résul 
tat final ne doit dépendre que des fonctions complètes delà troisième 
espèce et des espèces inférieures, lesquelles , au moyen des réduc 
tions connues, ne dépendent elles-mêmes que des fonctions de la 
première et la seconde espèce ; de sorte que Faire entière du cône 
pourra encore être exprimée par des arcs d’ellipse. Mais il est 
nécessaire d’entrer dans quelques détails pour justifier cette con 
clusion. 
(i2Ô). Pour faire disparaître les puissances impaires de la variable 
sous le radical dans la valeur de dZ,i\ faut d’abord supposer z = —jf : z* 
et parce que la quantité sous le radical n’a , dans le cas dont il s’agit, 
que des facteurs simples imaginaires, le résultat de la substitution, 
après avoir déterminé p et y, contiendra un nouveau radical de la 
forme