178
tique, soit tang
Cela pose', l’e'quation tang p) = A tan g \ ( <p — jx) a lieu pour
toutes les valeurs correspondantes de <p et 4,; il en résulte qu’aux trois
valeurs (p — jx, = -tT —f- fx , (p = 2 7i -f-jx, répondent ces trois valeurs
de l’amplitude des fonctions elliptiques — v, ^=^-—1— r,7T-f-r.
Mais pour avoir Taire entière du cône , on devra prendre l’intégrale
Tj depuis <p = o jusqu’à <p = 2rt ; ou , ce qui revient au même,
depuis q>z=zfx jusqu’à (p=. 271 -f- fx\ on devra donc prendre les fonc
tions elliptiques qui entrent dans l’expression de Zi depuis = v
jusqu’à ^ = y-f-tT; ou, ce qui revient au même, depuis ^ = 0
jusqu'à '^='7?. Donc il n’entrera que des fonctions complètes dans
Texpression de Taire totale , et ces fonctions se réduisent toujours
aux fonctions de la première et de la seconde espèce; d’où il suit
que dans le cône oblique à base elliptique , Taire entière peut encore
s’exprimer par des arcs d’ellipse.
Construction de la ligne la plus courte sur la surface
du sphéroïde.
(126). Nous avons donné dans les Mémoires de l’Institut, an 1806,
les équations nécessaires pour décrire la ligne la plus courte sur la
surface d’un sphéroïde , et nous avons démontré que celte courbe,
prolongée indéfiniment, est composée d’une infinité de spires égales
et semblables, comprises entre deux parallèles également éloignés
de Téquateur, Nous nous proposons maintenant de faire voir com
ment on détermine les différens points de cette courbe par le moyen
des fonctions elliptiques, et pour cet objet, il suffira de construire
une seule moitié de spire comprise depuis le parallèle auquel elle est
tangente jusqu’à Téquateur.
11 faut d’abord se rappeler ce qui a été démontré dans le mémoire
cité, que la ligne la plus courte menée entre deux points donnés
sur la surface d’un sphéroïde , ligne qu’on appelle géodésique, lors
qu’elle est tracée sur la surface du sphéroïde terrestre, fait toujours
partie d’une ligne de cette nature perpendiculaire au méridien d’un
PREMIERE PARTIE,
co , on aura
a __ 1 1 + qt
A — ? *
