DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 181 
donc en intégrant 
P = ™ [O+c‘)n0,c, ?) — c‘F 
Par cette formule on déterminera pour chaque point M dont la 
latitude est connue, la longitude P de ce point ; et les calculs pour 
ront être faits avec tout le degré d’exactitude que comportent les 
tables de logarithmes, au moyen des méthodes que nous avons 
données pour évaluer les fonctions F et n. 
Si on fait <p = 90*, on aura la position du point I où la courbe coupe 
l’équateur par la formule 
P 1 = ^ [(rc-f-O n 1 (», c) — c a F‘(c)] ; 
et comme la fonction complète IT(zz, c) peut s’exprimer par des 
fonctions de la première et de la seconde espèce , il s’ensuit qu’on 
peut déterminer le point I par ces seules fonctions; ou, ce qui re 
vient au même, par les seuls arcs d’ellipse. On pourrait déterminer 
de même une infinité d’autres points de la ligne la plus courte ; et 
lorsqu’on aura tracé la demi-spire AMI , on pourra de même 
tracer la continuation de celle courbe dans l’autre demi-sphéroïde , 
en observant que les points situés de part et d’autre à des latitudes 
égales, ont avec le point I des différences égales en longitude. 
(12g). Il est remarquable que la formule qui donne la valeur de 
l’angle P , est absolument de la même forme que celle qui donne 
la valeur de l’angle résultant du développement sur un plan d’une 
portion de la surface d’un cône oblique à base circulaire (i25). 
Ce dernier angle est facile à trouver jusqu’à un certain degré d’ap 
proximation, par de simples constructions géométriques, déduites des 
pyramides inscrites et circonscrites. D’ailleurs comme le cône oblique 
n’a de courbure que dans un sens, cette surface est censée plus simple 
que celle du sphéroïde qui est partout à double courbure; ainsi on 
doit regarder le problème de déterminer la ligne la plus courte sur 
la surface du sphéroïde , comme étant réduit à une moindre diffi- r 
culté par la construction suivante , qu’on tire aisément de nos 
formules.