DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i8 7 
donc l’élement de la projeclion 
dxdj = ~ (a a —. A a sin a 4). 
Lorsqu’on fait varier 4 en supposant a constant, le point de projec 
tion ne varie que sur une même ellipse de projection ; de même 
lorsqu’on fait varier et en supposant 4 constant, le point de pro 
jeclion ne varie que sur une hyperbole de projection ; car en élimi 
nant et et £ des équations ctz=z f £ 2 ——A 2 }, 
on a j* 
B 2 cos 2 4- 
_x_ ^ 
sin ^ 9 COSvj, 3 
A 2 sin 2 I — A a sin*4)> ce qui est l’équation d’une 
hyperbole de projection , dont les demi-axes sont et' = A sin 4 , 
C' = B cos 4- 
De là on voit que l’élément de projection dont nous venons de 
donner la valeur, représente le quadrilatère compris entre deux 
ellipses et deux hyperboles de projection infiniment voisines. 
Si on substitue maintenant les valeurs de x } j et dxdj dans l’ex 
pression générale de S, on aura 
-fil- 
B et 2 —A 2 SÌn 2 4- 
V(J— a-) 
dad4 y/ 
ct 2 sin 2 ^ £ 2 COS 2 |-’ 
«. 2 sin 2 -X C 2 C0S 2 A 
b 2 
Cette expression paraît au premier coup d’œil beaucoup plus com 
pliquée que celle à laquelle nous avons été conduits par la première 
méthode ; mais en l’examinant de plus près, on trouve qu’elle est 
susceptible d’une réduction fort remarquable. 
En effet, si on substitue la valeur £ 2 = “ (a 2 — A 2 ), on recon 
naîtra que la quantité sous le radical se décompose en deux facteurs 
distincts, l’un qui ne dépend que de a, l’autre qui ne dépend que 
de 4, de sorte qu’on a 
B fit 2 —A 2 sin 2 4 
A * [/(a 2 — A~) 
■ CT 
sm M' + ^ co s a 4 
B 2 a 2 T 
Si on observe maintenant que pour l’objet proposé il faut prendre 
l’intégrale par rapport à 4? depuis 4 ^ 0 jusqu’à 4 == i’' 7r -> et