DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 207 
Telle transformée 
r 2(1 — x' 1 ') dx 
“ J (x*— (2— <* ) o: a -J-* « a — a. -f- 1 ) \/(a^— 3a; 2 + 3 )‘ 
Cette intégrale dépend en général des fonctions elliptiques dont 
le paramètre est imaginaire , et elle peut être ramenée à celles dont 
le paramètre est réel. Mais dans le cas de a= 2, la solution se 
simplifie beaucoup et devient tout à fait indépendante des fonc 
tions elliptiques ; c’est ce qu’on vérifiera aisément en traitant la 
formule 
fx 
2(1 — a: 2 ) dx 
(a;* -j- 3 J \/(a; 4 — 3a?“ -f- 3 ) 9 
comme celle de l’exemple précédent. 
(143). On peut aussi, dans le même cas, parvenir directement 
au résultat de l’intégration sans le secours des fonctions elliptiques. 
Et d’abord comme la valeur de v peut être prise à volonté , sup 
posons v = 3 , ce qui donnera /a s=s J , et la formule proposée 
deviendra 
=/— 
J r;3— 
3 dz 
z 2 ) (/(1—3z 2 ) 
Soit y/(i—5z*) 
on aura la transformée 
^ 3 r (1—x*} dx \/Z r 3ai 4 -f-i dx 
2 J (i-f-jc 2 )(3x a —1) a J 3a;+-f-aa; 2 —1 * l/(3_c'-J-6ar'—I) a 
La première partie est rationnelle ; la seconde semble devoir se dé 
composer en deux fonctions elliptiques d/e la troisième espèce, à 
cause des deux facteurs du dénominateur 5x 4 -j- 2X 2 —1. Mais si 
on examine les choses avec plus d’attention , on trouvera qu’en fai 
sant \/Ç5x 4 -{~6jc*~-~i)=pjc, la seconde partie devient — — ! 
de sorte que la valeur totale de Z est 
ry 3 Ç (1—x 2 ) dx \/Z r dp 
aj (i+o; a ) (3x 2 —1) ~a~ Jp^—4* 
Ainsi cette intégrale se détermine entièrement par les arcs de cercle 
et les logarithmes.