SECONDE PARTIE. 
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et en général, 
-û—f" îi^ 
(=> 
1 AjA 2 ...Aft_ r a sin co sin S co. . , sin kd - / \ 
'k ‘ Aa^A a _a... A a _ k * sin a*» sin (a -f-1 ) co.. .sin (a—lì)co * ' A 1 /’ 
Cette formule donne la valeur de la fonction lorsque p -f- q 
surpasse n ; ainsi en la réunissant à la formule (k) , ona généra 
lement l’expression de toute fonction en supposant seulement 
connues les fonctions semblables pour lesquelles p -f- q = /z— 1 , 
et on a déjà remarqué que le nombre de ces auxiliaires est —ou 
- - , selon que n est pair ou impair. 
(8). La formule (n) pourrait être regardée comme une suite de 
la formule (k) ; et on n’aurait ainsi qu’une seule et même formule 
pour toutes les valeurs de p et <7; mais alors on aurait besoin de 
nouvelles auxiliaires A 0 , A_ r , A_ a , etc. , et il faudrait en fixer les 
valeurs ainsi : A 0 s= ? 011 plutôt i étant infiniment petit , 
A ; = T^- = ^, A_ t =—A I5 A_,== — A a , etc. C’est pour éviter 
Sili 1.0 l • L 
l’embarras de ces substitutions, surtout dans le cas de A„, que nous 
avons donné les deux formules séparément. 
Il est assez étonnant que l’expression générale des fonctions 
(J-^ ait échappé à Euler; on voit cependant qu’il s’était occupé 
spécialement de cette recherche , par le passage du tome Y des 
Nova acta Petropol. , pag. ia5, où il dit : Neque tamen hinc adhuc 
elucet quânam lege omnes determinationes progrediantur, quando 
quidem valores certarum formularum continuò magis evadunt com 
plicati. 
Nous remarquerons au reste que les formules (k) et (n) qui 
contiennent l’expression générale dont il s’agit, peuvent être re 
gardées comme l’intégrale complète de l’équation aux différences 
finies (e) ; de sorte qu’on ne peut tirer de cette équation aucune 
conséquence qui ne soit contenue dans les formules (k) et (n). C’est 
ce qu’il serait facile de démontrer par les méthodes que l’on suit 
dans ce genre d’analyse, et qui, pour la plupart, ont été indi-