^2 SECONDE PARTIE. 
Quant aux limites de cette nouvelle intégrale y il faut observer que 
les valeurs x n = o, x n = x" = i donnent respectivement z=o , 
z=i,z=o. D’où l’on voit qu’il faut prendre deux fois l’intégrale 
en z, depuis z = o jusqu’à z= i. Et comme alors rien n’empêche 
de mettre oc à la place de z , on aura 
/ a \ i — — T x a l dx (v) : 
cette intégrale est ainsi réduite à la forme la plus simple dont 
elle soit susceptible , puisque le radical n’est plus que du second 
degré. 
(n). Si dans celte formule on met n*~~a à la place de a , 
on aura 
/n — a\ — i-+- 3 JL Z’ x n ~ a ~'dx 
\n — a) 2 J V( L — oc’ 1 ')* 
de là et de l’équation (q) résulte cette formule remarquable 
/ ' x a ~ l dx r x n ~ a ~ l dx 2» cot aa - * . 
]/(i — x n ) j ^/(i—x n ) n— 2a 
(12). Puisque les fonctions ) sont les plus simples entre les 
fonctions non comprises dans les formules (c) et (1), il sem 
blerait convenable de les substituer aux auxiliaires désignées par A a s 
pour exprimer par leur moyen toutes les fonctions ( “ 
Dans cette vue, désignons en général la fonction ^ ^ par M fl ; 
comme on peut supposer a < ± n, on aura par la formule (h) , 
Aa^-a-+-i 
A t A a ... A n _a a —, 
An-a—t «sin (a 4- 1 ) a sin (a + 2) a. . .sin (n— a — 1 ) a 
■ •! 
gin Cu bin 20).. . sin ( n 2a —• 1 ) » 
valeur qui, au moyen des équations A...,—* = A* , sin (/z —A) ¿y 
= sin kcû, se réduit à cette forme 
M, 
A a A a +,...A aa _ t sin (a -f- 0 » sin (a + 2 ) a.. .sin o.aa 
à • 1 > 
AiA s ,.. .A a — 
$ju u sin a a,. .sm aa 
d’où