DES INTÉGRALES EULÉRÏENNES. 2 5 9
delermînabîe par les arcs de cercle et les logarithmes. On par
vient ainsi à ce théorème très-remarquable par son élégance et sa
généralité.
Si r on prend les trois intégrales
x p ~'dx
x p l dx log —
X
V/(i — x n ) n -i ~ \/(i—jc n ) n -?
entre les limites x=o, x = i, la première sera égale au produit
des deux autres.
(38). On trouve dans le tome IV du Calcul intégral d’Euler ,
pag. 166, une démonstration du même théorème qui, à cause de
sa grande simplicité> aurait dù être substituée à la précédente, s’il
n’y avait pas quelque avantage à considérer un même objet sous
difïérens points de vue. Voici cette démonstration (*).
Par la formule de l’art. 4 > on a
X — p . pq 11 . p etc
p ’ p -f-n ' p -j- zn
Différentiant logarithmiquement les deux membres par rapport
a p , il viendra
d7 — ( dp . ( d P \ + ( dp dp \ _i_ etc
Z \p+q p/~\p-\-q+n p~\~ n) \p-\-q-\-zn p-\-znJ '
Soit $ ou (y) une fonction de c, telle qu’on ait
yP yP~H yP+* yp-+-?-4-n yP+2„ yp4-?-t-2«
<D = ( - j ( j : f- etc.
p* m P+q P+n P+q+a p+un p-j-q+zn
La fonction O (e) devenant €> (1) lorsque = 1,011 aura
dZ 7 _ , \
= — dp®{i).
(") Euler n’avait donné d’abord qu’un cas particulier de ce théorème, qu’on
trouve dans le tome I de ses Opusc, anal., pag. 18^ ; il est ensuite parvenu au
théorème général , dont il a donné une démonstration que nous rapportons ici ;
mais cette circonstance m’avait échappé lorsque j’ai publié mon Mémoire sur
les intégrales définies t où je n’ai cité que le cas particulier des Opusc. anal.
