DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 19
Enfin un motif qui suffirait seul pour faire préférer lés fonctions
F aux fonctions T dans le classement des fonctions elliptiques ,
c’est qu’on ne peut supposer >> \ tT dans la fonction T , tandis
qu’on peut supposer <p d’une grandeur quelconque dans les fonctions
F et E qui , en général , croissent presque proportionnellement à
l’angle <p. Or les applications du calcul intégral, principalement
celles qui concernent la mécanique , donnent souvent lieu d’attri
buer a la variable principale ç> des valeurs quelconques, compo
sées, si l’on veut, de plusieurs circonférences. L’emploi des fonc
tions T ferait donc naître des embarras ou même des erreurs, ce qui
n’est jamais à craindre dans celui des fonctions F.
(i5). Cela posé, les fonctions ou transcendantes elliptiques com
prises dans la formule H, seront divisées en trois espèces :
La première et la plus simple est représentée par la formule
La seconde est l’arc d’ellipse, compté depuis le petit axe et dont
l’expression est E = ;
Enfin la troisième espèce est représentée par la formule
f d <P .
J (1 -{-71 sin 2 (f) A 9
n
elle contient, outre le module c commun aux
deux autres espèces, un paramètre n qui peut être à volonté positif
ou négatif, réel ou imaginaire.
On pourrait croire que le cas où n est imaginaire, diffère essen
tiellement du cas où n est réel, et qu’il exige la formation d’une
quatrième espèce de fonctions elliptiques; mais par des réductions
et des transformations que nous exposerons ci-après, on verra que
cette quatrième espèce est inutile à considérer , et qu’on peut ainsi
restreindre la troisième espèce aux seuls cas où n est réel. Nous
regarderons seulement comme conditions nécessaires et communes
désigne l’arc dont le sinus est x, ou le nombre dont le logarithme est y. Il semble
qu’on caractériserait assez bien la fonction F en lui donnant le nom de Nome ,
parce que cette fonction a la propriété de régler tout ce qui concerne la com
paraison des fonctions elliptiques. Peut-être conviendrait-il en même temps de
donner les noms d'Epinome et de Paranome aux fonctions E et n qui constituent
les deux autres espèces.
