22 PREMIÈRE PARTIE.
angle au sinus du côte oppose', sera égal au module (*). On voit
de plus que dans le triangle ABC, les deux angles A et B sont tou
jours aigus ^ et l’angle G toujours obtus.
Si on fait ensuite F(/z)-|-F (ô) = F(j'), il faudra observer que dans
le nouveau triangle sphérique qui aura pour côtés fx, 9, v, l’angle
opposé au côté jx devra être aigu et avoir le même sinus que
l’angle opposé au côté jx dans le premier triangle, pour que son
rapport avec sin fx soit égal à c dans les deux triangles; ainsi il
faudra que l’angle opposé au côté fx dans le second triangle^ soit
supplément de l’angle opposé au côté jx dans le premier ; d’où nait
celte construction.
Prolongez le côté AC vers E , faites CD = 9 ; du point D et d’un
f¡g. 3. intervalle DE = jx, décrivez un arc qui rencontrera GE en E , et
déterminera le second triangle CDE, dans lequel on aura CE = v f
et le côté v satisfera à l’équation F ( v ) = F (<p) -j- F (4) -f- F( 9).
Celte construction peut être continuée aussi loin que les limites
des côtés des triangles sphériques peuvent le permettre, c’est-à-dire
tant que le grand côté n’est pas plus grand qu’une demi-circonfé
rence. Et il est évident qu’on pourrait se servir de la même construc
tion pour trouver successivement les angles <p a , <p 3 , <p 4 , etc. , tels
qu’on eût F (<p a ) = 2F (<p) , F (<p 3 ) = 5F (<p), etc., ce qui servirait à
la multiplication de la fonction F. Mais , nous le répétons , ces
constructions ne peuvent s’étendre que jusqu’aux limites des triangles
sphériques, tandis que l’analyse ne connaît aucune borne.
Il est bon de remarquer que la considération du triangle sphé
rique ABC offre un moyen fort simple de vérifier l’intégrale (a).
En effet si en regardant jx et C comme constans , on fait varier
infiniment peu les côtés $ et 4 y on aura Act = ou — d<p cos A
z= ^4 cos B; mais on a trouvé cos A= A(4) et cos B= A (<p) ; donc
dtp , ri 4,
¿Cë) + M4)
Ainsi une application fort simple de la trigonométrie sphérique
(’) Un autre triangle sphérique formé par les trois angles <p , 4> ^ >
et par les trois côtés B, A, 180°—C, satisferait également à l’équation
F(<p)4-F(4) =F(^). Mais le rapport qui était c dans le premier triangle, de-
