354 TROISIÈME PARTIE. 
les limites réelles x o, x = co ; il n’est donc pas surprenant 
qu’elles soient inégales. 
On distinguerait de même F'(j) qui représente fx x dx, prise 
entre des limites imaginaires, de F(|) qui représente l’intégrale 
fx *e X dx prise entre des limites réelles. Pour les comparer entre 
elles, on appliquera la formule générale qui donne 
r'(i)= £ A^(-o 
3. 
r (i) 
ensuite, comme on a F (|) F (|) = —, il en résulte 
= 2sin J.( 1) 3 y/ 1=2[/ 1 SmjTr^COS^—'Tr+V^' 1 sin--^'7tJ } 
ce qui donne trois valeurs pour le rapport cherché de T'Q) a F (|). 
i 
Ces trois valeurs répondent à celles que peut prendre x 3 dans la 
formule fxT~ J e~~ x dx, lesquelles sont x* 9 x J (—~ -f- 4 \/— 3), 
x 3 (— | | y/— 3 ) ; si on se borne a la première , on aura 
simplement 
*'(*■) = - V(— 5 )*r( | ). 
(4o). Reprenons maintenant la formule Z — fx *e x dx; puis 
que nous avons fait x = — et -h z \/ — i , et que l’intégrale doit 
être prise entre les limites z = — co , z = -j- co , il s’ensuit que si 
on fait pour abréger f— -j = M , on aura 
z = f/—ï) 'V-*i+\V—i) 
cette intégrale étant prise depuis z = o jusqu’à z = oo. 
Soit z = a tang <p , on aura la transformée 
Z = sMctp 7 —i .fd<p cos* 2 <p cos (a tang <p —-a(p) , 
nouvelle intégrale qu’il faudra prendre depuis <p — o jusqu’à <p=^7iV 
Dans les applications, on pourra supposer a > 2 ; ainsi l’intégrale 
f dx cos*~ 2 <p cos (atangep—a<p) ne présentera que des difficultés or 
dinaires , lorsqu’on voudra l’évaluer par la méthode des quadratures.