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aura enfin 
TROISIÈME PARTIE, 
Z (i ) = (i + n) e 11 y/(pjnt) =: ( i -{- n) Z (o). 
( a ) 
(62). On pourrait calculer de la même manière les valeurs de 
Z ( 2 ) , Z(3), etc. Mais la loi de progression de ces quantités 
est facile à trouver ; en effet, si on difïêrentie la quantité.,.. 
/i+a:x\ 
V 2 nx J 
2k-¥-l 
T=:x 
, 011 aura 
j, 2k—\ _ Çi+.r,r\ 2fc+i __ f\-\-xx\ 
dT = ——- x 2 ¿Ar.e v. 2nx ) -4~x 2 {— —)dx.e ^ 2nx '• 
2 \211X 211/ 
Intégrant et observant que T s’évanouit aux deux limites de l’in 
tégrale , on trouve 
_ o = 놱lZ(*)+iZ(*-.)-iZC* + i), 
d’où résulte 
Z (A-h 1) = ( 2 *4* 0 " Z (A) 4-Z (A — i). 
Ainsi on aura successivement 
Z (2) = 5/zZ (i) -f Z (o) = Z (o) ( 1 + 5л + 3/г*) 
Z (3) = 5/zZ (2) + Z (1) = Z (o) ( 1 4- 6/г 4- гб/г* 4- ï^/г 3 ) 
etc. 
L’expression générale de ces quantités est 
(3) 
Z(A)=Z(o).[i + 
h+ 1. k 
h —f— 2, h —j— 1, h. h — 1 
n -f- ——— 1 ; 1 /г* 
2 2.4 
A-f-g.A-J-a.A-f- 1 .k.k — 1 ,k 
2.4,6 
/г 3 4- etc.^J ; 
(4) 
ce qu’on peut aisément vérifier par la substitution dans l’équation 
(3). La série que nous rencontrons ici suit donc la même loi que 
celle qui a été représentée ci-dessus par A k (art. 43). 
Cette formule a également lieu lorsque h est négatif, et elle 
donne immédiatement Z (— k — 1) = Z (A) ; c’est aussi ce qui 
résulte de la considération directe des intégrales. En effet on a 
généralement 
2Ä- 
f 
Z ( A) rrr:/( x 2 4“ x ^ 2 ' 
( I -4-зг.т\ 
2 nx ) 
cette intégrale étant prise depuis x = 1 jusqu’à x =