S72 troisième partie. 
Multipliant par cln y et intégrant le second membre d’après la for 
mule fxdx log x = ~ ( log x — ~); déterminant ensuite la cons 
tante de manière que l'intégrale soit nulle lorsque n = o, on aura 
R = i (3/2+/?2+i) 2 log (5/i-j-m-j-i) — | (222+7/2+1) 2 log (2/2+772+1) 
4-|(/2+/?i-l- i )Tog (/2+772+1)—i(//2+i) a log(//2+ i), 
quantité qu’on peut mettre sous la forme | A 3 [(/72+i) 2 log (m-j-i)] ; 
on aura donc 
j' (^¡r) 3 xmdx = I A 3 [(m+i) 2 log (/w+1)]. (5) 
(60). Ces formules peuvent être présentées de la manière la plus 
simple et la plus générale, comme il suit: 
/№. 
^ x m ~ 
~ l dx =s 
A (log m) 
/(+ 
y x m ~ 
~'dx = 
A 2 (mlog /72) 
/(+ 
^ x m ~ 
"'î/x = 
—’ A 3 (/72 2 
2 ' 
log 
/7 2 ) 
/(+ 
yX a - 
¿5 A4 (“ 5 
log 
/72 } 
etc. 
les différences indiquées par A étant prises en supposant A m = ni 
Euler a considéré ces intégrales dans quelques cas seulement ; 
voyez le tome IV de son Calcul intégral, pag. 271 et suiv. 
Des intégrales J*et /A*dtp cos Acp, prises depuis <p=z o 
jusqu à = , en supposant les nombres A et n entiers, 
et A — 1 _j- a a — 2a cos <p. 
(61). D’après la théorie des suites récurrentes, il est facile de 
voir qu’on a l’équation 
7+++;= 1 + a cos ?> + a'cos 2?+ a 3 cos 3?+ etc. 
Multipliant chaque membre par 2 et retranchant de part et d’autre 
l’unité, il viendra 
l'+âa cos% +^ = 1 + 2a cos (P + 2a 2 cos 2<p + 2a 3 cos 3<p + etc.