S6 PREMIÈRE PARTIE. 
dx 
d y 
o, 
généraliser le résultat d'Euler, concernant F équation 
Lagrange s’est proposé de trouver des cas d’intégrabilité de l’équation 
~~~ + — Oî sans supposer que les deux polynômesX et Y 
sont entièrement semblables (*) ; mais il ne paraît pas que les re 
cherches de ce grand Géomètre l’aient conduit au-delà de l’équation 
d’Euler; car l’équation qu’il donne page 119, comme étant plus 
générale, s’y ramène immédiatement en faisant v=.ky, et donnant 
au coefficient k une valeur convenable. Ainsi il est très-douteux 
qu’avec deux termes seulement, l’équation d’Euler puisse être géné 
ralisée ; mais avec un plus grand nombre, on voit qu’elle admet une 
grande extension. 
(28). Puisque les fonctions F peuvent être multipliées ou divisées 
à volonté, cette propriété fournit un moyen assez simple de les 
évaluer par approximation. D’abord nous supposerons que <p ns 
surpasse pas jtt, car suivant l’article 12, tous les cas se réduisent 
à celui-là. 
Cela posé, on déterminera <p t par l’article 21, de manière que 
/ a rL r 
aura une étendue moindre 
que , de près de moitié, si c n’est pas trop près de l’unité. 
Par une seconde bisection, on peut faire ensorte que F, 
4 
et l’intégrale que représente F (ip ± ) aura encore une étendue près 
dé deux fois moindre , ainsi de suite. Mais lorsque l’amplitude 
de la formule qu’on considère est devenue très-petite, la fonction 
F(4) se réduit sensiblement à l’arc . Donc quelle que soit la 
première valeur de (p, la fonction correspondante F (<p) sera égale 
au dernier terme de la suite <p, 2<p,, 4<p ± , 8<p,, etc., et dans la plupart 
a 4. ' 8 
des cas, on obtiendra cette limite par un calcul assez court. 
(’) Mémoires de Turin, tome IV.