DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, 5 9 
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d’après î’art. 24 y ^ aire cos (p = y / Î2]/5— 3), ou prendre la corde 
cm= —3)]. 
Les arcs de la Lemniscate représentent les fonctions elliptiques 
de la première espèce dans le cas où le module c=z y/j = b. 11 
serait assez curieux de rechercher s’il y a quelque autre courbe 
algébrique dont les arcs représentent la fonction F pour une autre 
valeur de c; mais celte recherche ne laisse pas d’étre difficile. 
Elle ne présenterait aucune difficulté si on admettait les arcs de 
cercle et les logarithmes dans l’expression des coordonnées. En effet 
i/<p 2 
il s’agit de satisfaire à l’équation ¿Lr a -f- dj* = ~— 
être mise sous cette forme 
c 2 sin 2 <p 
, laquelle peut 
dr-* -I- dv* dp 2 (cos 2 (p + 6 2 sin 2 <p) (cos a 4 + sin a 4) 
J (I— C 2 sin 2 (p 2 ) 2 
c’est ce qu’on obtient généralement par les valeurs 
d __ dp (cos <? cos 4 — b sin p sin 4 ) 
1 — c 2 sin 2 p 
dq> (cos p sin 4 + b sin p cos 4) 
1 — c 2 sia 2 p ; 
dj 
dans lesquelles on peut prendre à volonté sin ^ en fonction de sin 
et cos <p. Pour nous borner à un cas particulier, soit 4 = 0, on aura 
dær=. 
dj 
dp cos p 
1 — c sm 2 p 
b dtp sin p 
1 — c 2 sin 2 p * 
d’où l’on déduit en intégrant 
JC = —log(- 1+crin P N i 
2C ° \ X — C Sin <p J 
1 . /0 COS Ç\ 
y = - arc tang [—¿—J- 
La courbe décrite d’après ces deux équations, sera donc telle 
qu un arc quelconque s } compte depuis <p = o ? aura pour valeur 
F(?>), et représentera généralement une fonction elliptique de pre 
mière espèce, quel que soit son module.