42 PREMIÈRE PARTIE. 
donc P = c 2 sin }x sin <p sin ^ sans constante , parce que P doit s’éva 
nouir lorsque q> z=z o. 
Ainsi pendant que les fonctions elliptiques de la première espèce 
ont entre elles la relation F (<p) -f-F (aJ,)— F (/x) = o , les fonctions 
correspondantes de la seconde espèce satisfont à l’équation 
E(<p)-f-E (4) — E (/a) — c 2 sinjx sin p sin 4. . . ,(c') : 
c’est la formule générale qui servira à comparer entre elles les 
fonctions de la seconde espèce , comme nous avons comparé celles 
de la première. 
Si l’on considérait plus généralement la fonction G (<p) composée 
de la première et de la seconde espèce, savoir, 
= E (<p) + № (<p), 
li étant un coefficient constant quelconque, il est vîsiîole qu’on aurait 
semblablement 
G (<p) ~h G — G (fc) = c 2 sin jx sin <p sin ^ ; 
de sorte que toutes les conséquences qu’on tirera de l’équation ( c') 
pour les fonctions E, s’appliqueront généralement aux fonctions G. 
(52). Désignons comme ci-dessus par<p u , <p 3 , <p 4 , etc. les ampli 
tudes qui donnent F (<p.) == 2F (<p), F (<p 3 ) = 5F (<p), etc. , on aura , 
en vertu de Féquation (c), 
sE (<p) “—E (<p # ) = c a sin (p sin(p sin (p a 
5E(<p) — E((p 3 ) = 6* 2 sin (p ( sin <p sin <p % -f- sin <p 3 sin<p 3 ) 
4E ((p) — E ((p 4 ) = c 2 sin cp (sin (p sin ip 2 -f- sin <p a sin <p 3 + sin <p 3 sin 
etc. 
Donc la même relation entre <p n et <p , qui donne F (<p„) = nF (<p) 
donnera «E ((p) — E ((p„) égale à une quantité algébrique. 
En général, si m, n 9 p, etc. sont des nombres entiers positifs ou 
négatifs , on peut faire ensorte que