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DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 45 
les angles <p, 4, <y, etc. , la relation qui donne 
o = ;wF (<p) -f-«F (4) +^F (&>) -f- etc. 
Nous observerons que les fonctions F(tp), E(<p) sont en général 
de même signe que <p j lorsque (p change de signe, elles en changent 
aussi, et conservent la même valeur. Gela posé, il semblerait qu’on 
peut satisfaire à l’équation 
o = /;zF (<p) -f- 72F (>4) -f- pF («) -j- etc. 
de bien des manières différentes ; car on est maître de changer le 
signe de chaque coefficient, pourvu qu’on change en même temps 
le signe de l’amplitude correspondante. Mais on peut se borner à 
considérer les fonctions F (<p) , F (4), F (a>), etc. comme toujours 
positives ; et dans ce cas, il n’y aura jamais qu’une relation entre 
les angles <p,4> 60 9 etc.,qui donnerao = 777F((p)-jw7F(404-/7F(a))-f-etc.; 
alors on voit que les coefficiens m , tz, p, etc. ne sauraient être tous 
de même siçne. 
DU 
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(35). Telles sont en général les relations qu’ont entre elles les 
fonctions elliptiques de la première et de la deuxième espèce : il faut 
maintenant entrer dans quelques détails sur les nombreux corollaires 
qu’on peut tirer de l’équation des arcs 
E (<p) -f- E (4) — E ( pi) — c 2 sin <p sin 4 sin f* 9 
combinée avec Féquation algébrique qu’elle suppose et qui peut se 
mettre sous l’une de ces trois formes, 
cos /ul ~ cos <p cos 4 — sin <P sin 4^ (¿0 
cos 4 = cos [/j cos (p -f- sin fx, sin (p A (4) 
COS <p = COS /4 COS 4 -f" si* 1 fi sin 4A ( <P )• 
On déduit de ces équations les valeurs suivantes qui serviront à ex 
primer le second membre c x sin <p sin 4 si 11 Z 4 en fonction de deux 
seulement des amplitudes <p, 4> 
. sin (p nos 4A (4) “b s ^ n 4- C0S (<P ) 
Sin W >— r~ • T~. 
' 1 C 6 m (p sm a 4 
. sin u cos Ç/A (p) — sin (p cos yA. (y) 
Sin 4, zrr: — 
* i — c sin-p. Sin'ip 
• sin yeos 4A (4) — sin 4 cos yA (/./) 
1 C*àUi a y. sin 2 4