Tis. i. 
44 PREMIÈRE PARTIE. 
Cela posé, voici les principaux corollaires qui résultent des équa 
tions mentionnées pour la comparaison des arcs d’ellipse. 
I. Si l’on fait /a = ^ tT , l’équation des arcs deviendra 
E (<p) + E (4) — E' = c*sin cp sin 4 > 
et l’équation algébrique correspondante sera 
h tang <p tang 4 = 1. 
On en tire tang 4 — \ cot <P, sin 4 = , cos 4 
C 2 sin cp sin 4 
sm <p 
et 
A(®) ’ 
—aurait semblablement tang <p:=T cot 4? 
_ ros 4- Æ 
sin <p — ^, cos <p 
A (4) 
h sin 4- 
M4T 
, „ . • • C s sin rJ,COs4- 
y et c 2 sin (p sm 4 = —^ . 
Si d’après cette relation entre les amplitudes (p et 4* on déter 
mine sur l’ellipse les arcs RM — E (<p) } BN = E (4) > on aura 
AN = c 2 sin <psin4- 
BM 
C’est dans cette équation que consiste le théorème de Fagnani. Il en 
résulte qu’étant donné l’arc BM terminé au petit axe , on peut 
trouver un second arc AN terminé au grand axe , tel que la diffé 
rence de ces arcs BM —AN soit égale à une quantité algébrique 
c a sin <p sin 4; et cette quantité est représentée par la partie de la 
tangente OM ou ZN terminée à la perpendiculaire GO ou CZ , 
abaissée du centre de l’ellipse. 
Lorsque <p et 4 sont égaux à un même angle G , les deux points 
M et N coïncident en un même point R. Alors on a tang 2 G = -* 
sin 2 G=——, cos 2 G= ~ 7 « ce qui donne 
1 +b’ 1 +6’ 1 
BR —• AR = 1 — h. 
Donc alors la différence des arcs BR, AR est égale à la différence 
des demi-axes GA, CB ; en même temps on a 
BR = 4 E* 4- H 1 — h ) 
AR == 4 E 1 — | ( 1 —- £ 
Il y a donc au point R une sorte de bisection du quart d’ellipse,