48 PREMIÈRE PARTIE. 
^ de l’arc donné E(4)j plus ou moins une quantité algébrique. L’équa 
tion sera la même que celle qui donnerait F (<p)= ^F (4)- 
Il en sera de même si l’arc donné n’est pas terminé au petit 
axe. Car si OP est cet arc, on cherchera par le Coroll. III , l’arc 
t 'S- 9- RM égal à OP -p une quantité algébrique, et il ne s’agira plus que 
de trouver un arc BN = ^ BM zh une quantité algébrique. On 
pourra ensuite donner à l’arc BM une autre origine à volonté. 
X. Deux arcs étant donnés partout où l’on voudra sur l’ellipse, 
on pourra trouver un arc égal à leur somme ou à leur différence , 
plus ou moins une ligne droite assignable géométriquement. C’est 
une suite des Coroll. III et Y. 
Ainsi toutes les comparaisons qu’on fait ordinairement des arcs 
de cercle par voie d’analyse, ont lieu également pour les arcs 
d’ellipse, à la différence près qui affecte tous les résultats , mais 
qu’on peut faire disparaître dans beaucoup de cas , lorsque l’origine 
de l’arc cherché est arbitraire. La disparition de cette différence , 
lorsqu’elle peut avoir lieu, ajoute aux problèmes un degré d’intérêt 
de plus ; elle rapproche alors les propriétés des arcs d’ellipse de 
celles des fonctions elliptiques de la première espèce. C’est pourquoi 
nous croyons devoir en apporter ici quelques exemples. 
(34). Problème I. Déterminer sur le quart d’ellipse BKA un arc 
MP qui soit précis émentégal a la moitié de Varc BKA. 
Fig. 6. Soit <p l’amplitude du point M, 4 celle du point P, 9 l’amplitude 
du point R, premier point de biseclion de l’arc BKA, pour lequel 
on a sin 2 9 = et E (9)=4E 1 +t( i )• Supposons qu’on 
ait F (<p) -f- F (8) — F (4) == o , il s’ensuivra E (<p) + E ( 6) — E (4) 
= c 2 sin <p sin 4 sin 9; donc 
E (4) — E (<p) = |E 1 -}“t( i — Æ) ■— c 2 sin9 sin 4 sin 9. 
Donc si on veut qu’on ait MP = 4E r , il faudra faire 
c* sin <p sin 4 sin 9=^(i — b) y 
ce qui donnera sin <p sin 4 = i sin 9. Mais d’un autre côté l’équation 
h*