DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Ci
Théorème sur les fonctions de -première et de seconde esjè ce,
dont les modules sont complémens l’un de Vautre*
(42). Dans les comparaisons qu’on vient d’établir entre les fonc
tions F‘(c), E 1 (c), qui se rapportent au module c = ~ y/(2—U3)
= sin 15°, et les fonctions F' (b) E 1 (b) , qui se rapportent au mo
dule complémentaire b \/(a-f-v/3) = cos i5°, les trois équations
trouvées conduisent à ce résultat remarquable
l = F‘ (c) E 1 (b) + F 1 (b) E 1 (c)—F 1 (b) F 1 (c) (d')
où l’on voit que les deux quantités b , c peuvent être échangées
entre elles, et qu’ainsi cette équation est vérifiée dans deux cas ,
celui de c = sin i5% et celui de c= sin 7 5°. Il serait facile de dé
montrer directement qu’elle est encore vraie dans deux autres cas,
lorsque c est infiniment petit, et lorsque c = Ut — b ; mais nous
allons prouver généralement qu’elle a lieu quel que soit c.
Pour abréger la notation^ désignons simplement par F, E, les
quantités F*(c), E l (c), et par F', E' les quantités F 1 (b), E 1 (è), et
supposons
P = FE' 4- FE — FF',
P étant une fonction de c encore inconnue.
Je différentie les deux membres par rapport à c qui est la seule
variable qu’ils contiennent. Or ayant E (<p) —fkdtp, F (<p) =
Д а = 1 —c s sin 2 (p, la différentiation donne
Mais parles formules de l’art. 9, on a Г^|= pf^d<p
c 2 sin Ф cos ф
et dans le cas de = i ^ d 0 « 1 d s’agit, le second terme s’évanouit :
ainsi on aura