DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. G5 
On peut simplifier encore ces équations en faisant F = H e t 
E = Ne, ce qui donne 
h 2 dM ( c sin tp cos 
 • 
Mais quelque simples que soient celles-ci , on ne saurait les intégrer 
par les moyens ordinaires, même quand on supposerait <p = ~ , 
ce qui changerait les fonctions F et E en F 1 et E 1 . Ainsi il n’y a 
guère d’espérance de déterminer généralement E 1 par F 1 , et encore 
moins la fonction indéfinie E par la fonction F ) ce qui maintient 
et justifie la distinction que nous avons faite entre les fonctions 
elliptiques de la première et de la seconde espèce. 
Il se présente à ce sujet une observation assez importante. On 
verra parles méthodes qui seront ci-après exposées, que la fonction 
F peut être exprimée en termes finis par la fonction E et une autre 
fonction de même espèce, dont le module et l’amplitude se dé 
duisent suivant une loi connue du module et de l’amplitude qui con 
viennent à la fonction E. Cette expression de F par deux fonctions de 
l’espèce de E, est une véritable intégrale qui doit satisfaire aux équa 
tions (e), et qui ne rentre pas dans les procédés ordinaires de l’in 
tégration. Le succès qu’on obtient dans ce cas particulier, peut 
donc devenir un exemple utile dans d’autres recherches. 
(44). Revenons aux équations (e'), et voyons quel pourrait être 
leur usage. 
Si on avait une table d’arcs d’ellipse dressée pour toutes les 
valeurs de c et <p, à des intervalles égaux et suffisamment rappro 
chés , celte même table pourrait offrir pour chaque arc E , le coeffi 
cient différentiel ^, puisque si et est la différence entre deux 
valeurs de c consécutives, le coefficient différentiel se déduit des 
différences finies par la formule 
a. ~ = AE — i A*E -1- | A S E — etc., 
AE, A a E, etc. étant les différences premières , secondes, etc. re-