PREMIÈRE PARTIE. 
7 2 
plètes la relation 
rr ( c' sin* 0) +rr ( ¡¿-j) — V, 
où l’on voit que les logarithmes ont entièrement disparu. 
J’observe sur cette dernière équation que la fonction 1I(—c* sin 2 9), 
, est nécessairement plus 
dcp 
qui représente l’intégrale^ c . ^ , éa , ?) A 
grande que J ~ ou F, et qu’ainsi 11* (—c 2 sin 2 ô) est plus grande 
que F 1 ; l’équation précédente ne peut donc subsister à moins que 
IP ^— ^A-^ne soit négatif. Or, ce résultat s’explique facilement par 
la nature de la fonction II Ç— ^A-^ qui est positive depuis <p = o, 
jusqu’à <p=9, et négative depuis <p=ô jusqu’à <p = il faut par con 
séquent que la partie négative soit plus grande que la partie positive. 
(5o). Au reste pour éviter toute anomalie étrangère a Vobjet dont 
nous nous occupons y et pour ne considérer des fonctions 11 que celles 
qui sont positives et finies , nous ferons abstraction , dans tout ce 
qui suit y du cas où le paramétré n est à la fois négatif et plus grand 
que l'unité. 
Si ce cas se rencontrait, on pourrait, au moyen de la formule de 
l’art. 49 ? réduire la fonction proposée U Ç—¿ô) a f° nct * on 
PI (—c* sin 2 9 ) qui n'est sujette à aucune difficulté ; l’anomalie tom 
berait alors sur le terme logarithmique joint à cette fonction. 
Cela posé, les fonctions II , eu égard aux diverses valeurs du pa 
ramètre , se rapportent à trois cas principaux qui exigent des déve- 
loppemens particuliers. 
Premier cas. Si le paramètre n est positif, on pourra toujours lui 
donner la forme n cot 2 ô , et on aura alors i/ct ;= 
J r Sin 0 COS 0 
sin Ô cos Ô” 
Second cas. Si le paramètre n est négatif, mais qu’il soit com 
pris entre — i et — c 2 , on pourra le désigner par la formule 
7 . A , . è* sin Ô cos ô 
n — — i -f- b 2 sin 2 a , et alors on aura y cl = 
P sin 6 cos 9 
MM) ’ 
y{ l — à 2 sin 2 Ö ) 
Troisième