DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
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que l’on ait 
iU (<p) H- AU (4) + /n («) + etc. s= W, 
W étant une quantité déterminable par arcs de cercle ou par loga 
rithmes. Il faut pour cela établir entre les amplitudes 4y ^3 etc..» 
la relation qui donne 
iF (<p) -f- AF (4) + ¿F O) + etc. = 0, 
et cette relation peut toujours être exprimée par une équation 
algébrique entre les sinus des angles <p, 4 > 00 ? etc. Ce résultat ne 
souffre aucune exception, et aurait lieu même quand le paramètre n 
serait imaginaire. Mais on peut considérer ces propriétés sous un 
point de vue encore plus général. 
(55). Soit P ou P ((p) une fonction rationnelle paire de siu <p , 
et soit 
Soit Z (4) une fonction semblable de 4 ? ces fonctions ou intégrales 
étant prises de manièrequ’elles s’évanouissent lorsque les amplitudes <p 
et 4 sont nuiles. Supposons qu’on ait toujours l’équation F(<p)-|-F(4) 
A(4) — 
z o)+z (+) - z o) [ p o) - p (4)]. 
Faisons comme ci-dessus sin 2 <p -f- sin 2 4 =/? ? sin (p sin 4 = q, il en 
résultera 
sin 2 ?> = \p 4- i t/O* —4? a ) 
sin 2 4 = 1 P — J V{p % ~ w)’ 
Substituons maintenant la valeur de sin 2 <p dans P (<p), le résultat 
sera de la forme 
P(f)=M + N(/ (p'~ 4?“ ) > 
M et N étant des fonctions rationnelles de p et q. On aura de 
môme 
P(4) = M —NVO-4?-); 
donc P ((p) — P (4) 5=5 2N y/( y» 2 —4T) 2N ( sin*<p — siu 3 4)? et