86 PREMIÈRE PARTIE. 
arcs d’ellipse , ce qui est le beau théorème dont Landen a enrichi 
la Géométrie (*). 
Nous avons déjà appelé G (<p) la différence entre l’arc d’hyper 
bole T et sa tangente A tang<p, terminée à la perpendiculaire abaissée 
du centre; celle différence s’exprime donc en général par deux arcs 
d’ellipse , de sorte qu’on a 
G (<p) = 2 ( I —j— O ) E (c'y <£>') E (c y <p) 2 c sin cp ; 
et en particulier lorsqu’on fait <p = { , on a pour l’expression de 
la différence entre l’asymptote et la courbe , 
G 1 — 2 ( I -j- c) E (C(p') E 1 (c) 2C. 
Mais puisque <p = ~ tT , on a sin ( 2<p'— £ vr ) = c sin <p = c, ou 
cos 2<p f = — c , ce qui donne sin 2 <p' = Î donc l’arc 
E (c'j <p') est celui qui se mesure par la moitié de E 1 (c), et on a 
E' (c, ç>') = | E 1 (c ) -f- ^ ( i —- h' ). Substituant cette valeur dans 
celle de G 1 , il viendra 
G 1 = (i + c ) E 1 (O-E 1 (c); 
donc la transcendante G 1 est égale à la différence des deux quarts 
d’ellipse qui ont pour demi-axes , l’un i-f-cet i — c } l’autre 
i et \/(\—c 2 ). 
(65). La valeur de F trouvée n° 6i , est l’intégrale de forme 
particulière qui satisfait aux équations différentielles (e') de l’ar 
ticle 45 ; nous allons en déduire de nouvelles propriétés des 
fonctions E. 
Considérons une suite infinie de fonctions E(c 3 <p),E (c', <p'}, 
E ( c", p" ), etc. formées d’après la même loi que les fonctions de 
première espèce F ( c , <p) , F (c', <p') , F (c , <p") , etc. 3 on aura 
d’abord les deux équations 
(c, <p) = E (c y <p)-— (i-f- c )E (c', <p' ) -f* c sin (p 
\ *' a F (c'y P') == E (c'y *') — (i + c') E (c" 3 f) + c' sin <?' ; 
( T ) On déduirait aisément des mêmes formules que tout arc d’ellipse peut 
s’exprimer par deux arcs d’hyperbole, ,