DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 87 
mais on a de plus F ( c, <p') = —F(c, <p) ; éliminant donc de 
ces trois équations les fonctions de première espèce, on aura entre 
les trois fonctions consécutives de seconde espèce E(c, <p), E(c', <p'), 
E (c\ , cette équation 
o = \V (1+V) E (c, <p) — (a+t') E (c', <p')-h 2 (1 +<?') E (<f, <p”) 
-f- j- U (1—b') sin cp — 2c' sin <p', 
équation qui peut être considérée comme une sorte d’intégrale particu 
lière de l’équation différentielle du second ordreo=(ï+ i?a ) +elc. 
donnée art. 4^. 
La même équation peut être appliquée à trois ellipses consécu 
tives, prises non-seulement dans la suite infinie E(c, <p) , E (c', <p') , 
E {c” y <p # ), E (c", q>"') , etc. , mais en général dans la suite double 
ment infinie 
,.. .E <p”) , E (V, <p') ,E(c,<p),E (c% <pQ , E (c*% r°), •. • • 
dont les extrêmes sont, d’une part, l’ellipse qui a pour excentricité 1 
et qui se réduit à son grand axe; d’autre part, l’ellipse qui a pour 
excentricité o et qui se confond avec le cercle : il en résulte 
donc que par la rectification indéfinie de deux ellipses de celte 
suite, on obtient la rectification indéfinie de toutes les autres. 
La formule générale se simplifie lorsqu’il s’agit de la rectification 
définie de ces ellipses. En effet si on fait <p n on aura <p'=-7t 
et <p = 2 7T, ce qui donnera E ( c', <p") =E* (c"), E (U, <p') = 2E 1 (c'), 
E (c, ^) = 4E 1 (c) ; donc on aura entre les trois quarts d’ellipse 
E 1 (c), E 1 (<?'), E 1 (V), celte équation 
o==£'(!-}-£/)E 1 (c) — (2+b') E 1 (c r ) + (i-i-0 E 1 (c). 
On aura une équation semblable entre trois termes consécutifs 
quelconques pris dans la série générale des ellipses. Ainsi la cir 
conférence d’une ellipse proposée pourra toujours se déterminer 
exactement par les circonférences de deux ellipses , aussi peu dif- 
férentes de la ligne droite qu’on voudra , en prolongeant les séries 
dans un sens, ou aussi peu différentes du cercle qu’on voudra, en 
prolongeant les séries dans l’autre sens.