i3S EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
Considérons particulièrement les valeurs rationnelles de x, et 
Si Ton observe de plus que les puissances paires de co sont les 
seules dont on doive tenir compte dans le développement de 
cot Ç'Tïjc —}— co) , puiscjue les puissances impaires disparaissent après 
les différentiations , on verra qu’au lieu de cot ('?r<r + co ) , on peut 
mettre 4 cot (rix -4- co) -f- £ cot (rxx — co ) ou hln — . On 
1 v i / i a v / cos 2<a — cos , 2vX 
aura donc 
, / N . , N 7T n d"- 1 / sin2îrr \ 
T" V % ) t « C 1 00 J rn * da n ~ l \cos 2a — cos 2vx) 9 
ou , en mettant co à la place de 200 , 
4» G*) —4» (• — *) 
r il 
d n ~ l 
* fa 
1 1 / ,«in VttX \ 
1 \cos a COS 2irx)’ 
Supposons qu’en faisant le développement suivant les puissances 
de co , on ait 
sln Ü7TX 
COS a COS 2%X 
—— A —j— Bce) 3 —f - Cco^ ,... N¿y" 1 —{■* etc. j 
N étant le terme général de celte suite récurrente; on aura, en 
prenant la différentielle du degré n— i, et faisant ensuite ¿y = o. 
d— 
d 
n-l 
cos a 
\ = N.(ra — i) (« — 2). •.. i =N Fn, 
c/ 
donc on a en général, 
(a) 4. (x) — 4» ( 1 — x ) ~ 2n-1 
(i53). Cette équation peut servir à déterminer la fonction 4* (x) 
par son complément 4« C 1 — x ) j ou réciproquement; mais notre 
objet est maintenant de considérer la seule suite représentée par 
4„ (x)— 4„(ï — x) y et on voit que la somme de cette suite 
sera donnée, pour toute valeur impaire de n , par la quantité 
s" -1 où N est une fonction rationnelle de sin 2xx et de 
cos 2 rrx.