CINQUIÈME PARTIE. § IV. 187 
et les formules d’intégration connues. D'ailleurs on peut observer 
que la troisième et la quatrième se déduisent de la première et de 
la deuxième, en différentiant celles-ci par rapport à r. 
Ces formules sont d’ailleurs susceptibles d’en fournir une infinité 
d’autres par la différentiation ou l’intégration relatives aux coeffi- 
ciens a et r. 
Par exemple, si on multiplie la cinquième et la sixième par da 9 
et qu’on intègre chaque membre depuis ¿z = o, on aura les deux 
formules 
(«") 
/ 
/ : 
ax —2 dx 
7TX „ 7tX 
dx 
-f- é 
nx X 
' *°S ( cos i a) ’ 
log tang (= + 2) ; 
3a première s’accorde avec l’équation (b), page 10g. 
46. Considérons de nouveau la première des équations (a) ; si 
on multiplie chaque membre par e~ nr dr 9 et qu’on intègre par rapport 
à r 9 depuis r = o jusqu’à r = ao; comme on a dans ces limites 
fe~ mr dr sin rx = 
(d") rn± 
J e 7rx — 
77i 2 -j- X 
ax e —ax 
, il viendra 
xdx T /’(e r — e~ r ) e 
- mr dr 
cos a 
{ 
_ X f (e'-é-r)* 
q—kx m? -f- x z a J e T + e r -f~ 3 
Si on fait e~ r == z 9 le second membre prendra la forme 
i UC 1 — a2 ) z ’ n ~ 1 dz 
a J i -f- 2,z cos a -f- z 2 * 
intégrale qui pourra s’exprimer par arcs de cercle et par loga 
rithmes toutes les fois que m sera rationnel. Par exemple, si on a 
m = i, on trouvera 
( e ") f • rZÇZ — i ( a sin«—0 + i cos a log (2 + 2 cos a ). 
Si on multiplie celle-ci par da 9 et qu'on intègre chaque membre 
depuis a = o, on aura 
/ ax _____ —ax 7 
r . — r — = — \a cos a -f- { sin a log ( 2 -f- 2 cos a ). 
ttx i + xx * ' a •