QUATRIÈME PARTIE. SECTION I. i5 
(19). Toute la théorie des intégrales Eulériennes, tant de l’es 
pèce (0 que de l’espèce F«, est comprise dans le petit nombre 
de formules que nous venons d'exposer. On en peut déduire, sans 
exception, toutes les formules qu’Euler a données dans ses diffé- 
rens Mémoires sur ces intégrales, et toutes celles que nous leur 
ayons ajoutées, d'après l’équation (d r ) } page 23y, qui n’était pas 
connue de cet illustre auteur, non plus que l’équation (v), page 284, 
qui en est une conséquence. 
L’application de ces formules au cas de n= 12 a été donnée 
avec détail dans l’art. 18, page 238. On y a fait voir que, dans 
la méthode d’Euler, cinq transcendantes A, A 2 , A 3 , A 4 , A 5 sont 
nécessaires pour déterminer toutes les intégrales (jj); elles suf 
fisent aussi pour déterminer toutes les fonctions F-f^, F^.-.F-f^ 
ainsi qu’il résulte des formules des art. 5g et 60. 
Au moyen de l’équation (d'), ces cinq transcendantes ont été 
réduites à trois seulement, savoir, A,,A a , A 3 , ce qui s’accorde avec 
le résultat général de l’art, précédent, qui donne ~ pour le nombre 
de transcendantes nécessaires lorsque n est un multiple de 4* 
Enfin, au moyen de diverses intégrations dont le résultat a été 
donné n° i55 de la première partie , on est parvenu, dans l’art, ig , 
à déterminer exactement le rapport de A, à A 3 , ce qui réduit les 
trois transcendantes aux deux seules A,, A a . On peut donc réduire 
a deux seulement les fonctions F-^* F— .... F 7-, de manière 
que ces deux fonctions étant connues, toutes les autres peuvent 
en être déduites. 
Cette dernière réduction, qu’on n’avait obtenue que par des 
intégrations très-compliquées, méritait une attention particulière; 
elle donnait lieu de croire que la théorie des fonctions F devait 
contenir d'autres formules propres à opérer leur réduction. Ces 
formules ont en efïet été découvertes par des recherches ultérieures* 
dont nous allons donner le résultat.