CINQUIÈME PARTIE. § Y. 20 5 
Réciproquement on voit qu a l’aide de ces formules, les transcen 
dantes S 3 , S 3 , S 7 , etc. peuvent être déterminées au moyen des 
intégrales f x m dx cot | æ, prises depuis x=o jusqu’à x — ^x; mais 
comme il y a plus d’équations qu’il ne faut pour déterminer ces 
transcendantes, on aura des relations entre les intégrales fx m dxeo\\x y 
au moyen desquelles plusieurs de ces intégrales pourront être déter 
minées par les autres. On voit, par exemple , qu’il suffit de connaître 
/x m dx cot-i-r lorsque m est impair, pour déterminer cette intégrale 
lorsque m est pair , et réciproquement. 
69. II ne sera pas inutile de faire voir comment on peut par 
venir aux mêmes résultats par une autre voie. Considérons l’intégrale 
T r J . 1 sin ax . , 
=Jdx cot j x. -y n — , que nous supposerons prise depuis x — o 
jusqu’à x = -7t : en substituant la valeur de -! n CL - donnée par les 
Sin O.TT r 
formules (a), $ II, on aura 
T = - fdx cot j x (j 
f sin 07 
2 sin 207 
, 3 sin 3o7 
\i— a 2 
1 
1 
0 
J 
1 9 —a a 
vlC* î* 
Pour effectuer l’intégration , il faut connaître en général Pintégrale 
fdx cot £ x sin mx , prise entre les limites x — o , x = tt ; or je dis 
que cette intégrale est égale à vr, quel que soit l’entier m. 
En effet, désignons l’intégrale dont il s’agit par A m , on aura 
A m+I —A n —fdx cot~x\sin{in-\-i)x—sinmx]z=f2dxco?,\xcos{jn-\- } -)x 
rj r / 1 \ *1 sin mx gin ( m -f- O x 
zzz. jdx [y o s niX'—cos(/w+i)jc] = — . cette q UaH _ 
lité est nulle dans les deux limites de l’intégrale ; ainsi on a 
A“ 1 = A m = A* ; mais A 1 — fdx cot } x sin x — fzdx cos 2 j x 
=fdx ( 1 -f- cos x) —x~j-sin x y et en faisant x — tt, on a A 1 = 7r; 
donc A m = 7r. 
70. Cela posé, la valeur de l’intégrale T sera 
3 
9— 
Développant les différens termes suivant les puissances de a 
il