CINQUIÈME PARTIE. § Y. an 
Soit cette quantité s= p (cos <p -f- y/ — i sin <p ), on aura de nou 
veau , pour déterminer p et q>, les équations 
P* = I 2171 COS Ct -f- 271 COS £ -f- Z72 2 --j- /Z 2 211111 COS ( CL £) , 
n sin C — m sin u 
tang <p — ,_ mC o S COS C m 
Cela posé , si on substitue ces valeurs dans la seconde des équa 
tions ( 27 ) , on aura 
/ * xdx sin a; _ -, , 
: — = 27T 10g p 271® 
cos x -f- m cos a -j- m sm « y— 1 0 ' T f 
d’où l’on déduit les deux équations 
'xdx sin x ( cos x m cos a ) 
i ; 
/ 
/ 
m 2 + am cos « cos x cos 2 a: 
xi/n: sin a; 
m 2 -f- 2m cos « cos x -f- cos 2 07 
- 27T log p , 
2iT$ 
?n sin « 
Ces deux formules sont comprises dans la suivante, où A et B sont 
deux coefficiens arbitraires : 
( 3 °) fi 
xdx Sin X (A COS 07-f-B ) 
. . B — Am cos a 
27TA lOg p -j • 2 7T^>. 
m sin « 
m 2 -f~ 2m - cos « cos x-+~cos 2 x 
Si dans cette formule on fait a = |-7T et zzz = cot ft, on trouvera le 
résultat suivant remarquable par sa simplicité : 
r „ N f* xdx sin x (A cos x -f- B} A , , , -r> . 
(50 J eo ..x + cof lQ g C0S ^+ tan g ^ 
78. Si on différentîe l’équation (3o) par rapport à ;?z et a, 
en faisant m cos a constant, et qu’on répète ces différentiations 
autant de fois qu’il sera nécessaire, on aura en général la valeur 
de l’intégrale 
/ " xdx sin x [A cos x -|- B ) 
(m 2 -{-27n cos « cos a;-}-cos 2 x) k * 
k étant un entier quelconque. 
De même les différentielles successives de l’équation (3i), prises 
par rapport à pc, feront connaître la valeur de l’intégrale 
/ xdx sin X ( A COS 07-f-B) Ja7 := O 
(cos 2 X -f- cot 2 ^ y ' lo7 — 5T 
{