CINQUIÈME PARTIE. § V. 2l 5 
passe par l’infini avant d’arriver à la valeur finie quelle obtient pour 
une limite déterminée , ou ne peut exécuter sur cette intégrale 
définie, les différentiations relatives aux constantes arbitraires, qffiaprès 
s’étre assuré que les infinis qui composent les deux parties de l’ïnté- 
tégrale définie, ne rendront pas défectueux les résultats de la diffé 
rentiation de cette intégrale. 
82. Les difficultés dont nous venons de nous occuper cessent 
d’avoir lieu, lorsque cos x —cos 6 conserve le même signe dans 
toute l’étendue de l’intégrale Z„ — C~—l 1 . 1 : r • alors la valeur 
¡J y COS JC •*— COS v ) 
de cette intégrale , entre des limites données , peut être déterminée 
exactement, quel que soit l’entier n. En effet Eintégration par parties 
donne 
(35) 
(n— O Z„ 
)-‘ + /o 
dx 
(cos x—cosò)" 1 1 J (cos a:—cos fi)' 1-1 * 
d’un autre côté, en différentiant la quantité 
trouve la formule 
( cos x — cos fi)* 5 
Oïl 
(34) *sin’9.T (i+0 = ( -^|^ î +( 2 A-,)cos9.T w +(A- 1 )T (1 _, )I 
dans laquelle représente en général l’integrale A — - h . 
( COS JC 1 COS ê j 
11 suit de là que l’intégrale Z„ peut toujours se ramener à l’in 
tégrale T, — f- — ; or on a 
° J cos X— cos fi 7 
T - = ETT Si x est < 9, 
et T > = lo § s! * est > 9 - 
(35) 
Ainsi, dans tous les cas, on aura la valeur de l’intégrale indéfinie 7^, 
prise entre des limites données, pourvu que cos x—cos 9 conserve 
le même signe dans toute l’étendue de Pintégrale. 
83. Par exemple, si l’on veut avoir l’intégrale Z / 3 = f T ^ x M _.. x 
r 7 b J (cos ¿c—cos fi) 5 7 
prise depuis ^=0 jusqu J à x = V } b' étant < 0 , on trouvera par