252 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
rence sera encore nulle, parce qu’elle sera affectée du facteur z et 
qu’on devra faire z = o ; donc il faut considérer le seul terme où 
r -f- k = n} ce terme est ~~ r A” —r ;s 71 '“ 1 ou simplement ?iA n ~ ]r z n ~~ T , 
et sa différence du degré n—i, divisée par dz n ~ l , donnera 
n,n— i.u — a.... i. A n-f ; donc on aura 
(10) 
d n ~ x (u T dp n ) 
dâ* 
= 1.2.5. ...72.A f,_r 
d n (u T p n ) 
cependant cette formule n’a lieu qu’autant que n est > r ; car 
si on avait r = n ou r >» n, le premier membre se réduirait 
à zéro. 
Cela est manifeste lorsque r est >> n, parce que les puissances 
de z, dans les différons termes de - ÿ,/■---, ne s’abaissent pas 
au-dessous de z r ~ n+1 , et par conséquent s’évanouissent lorsqu’on 
fait z — o. 
Lorsque r = n, on a soit alors log/?= L°-f-L z 
-J- U'z* -f- etc., on aura = L ; -4- 2L"z -4- 3L"'z % -+- etc. ; donc 
d n ~ 
dz 
'ZL( u r, d JZ\ 
, n ~ x \ dz J 
(nh'z n -\- 2«LV +1 -f-. 5riL m z n+ü *j~ etc.) = o. 
Nous pouvons maintenant démontrer la proposition suivante. 
102. Soit X une fonction quelconque de x, je dis qu on aura 
. , d n X d n ~ l n/ay^X“"] 
' 1 1 ' du n dz n ~ x 1_\ u J dz _J ’ 
la différence constante étant du dans le premier membreet dz dans 
le second. 
En effet, soit X== T°+T'«+T". — +T*.-^ + elc., et 
? 1 .a 1 1.2.0 ? 
d n Xv 11 
soit proposé de trouver la valeur de —-¡pr\ cette quantité e'tant 
développée devient 
T*^ + T' 
d n (up n ) , T" d n ( u y i ) 
"T" 
da'* 
da" 
+ etc. 
Mais