CINQUIEME PARTIE. § IX. 
245 
119. Elle en contiendrait trois, si le terme tang 3 .r se trouvait 
dans la valeur de tang y, et ainsi de suite suivant les puissances 
de tang x. 
Dans le cas de tang 3 ,x, il faut remarquer que la valeur de e^~ l 
pourrait toujours être mise sous la forme 
(a'+a[/-~ + 4-(d+cy/— Qe-^^-f (<f-f ¿y/— 1 )e~ 3x ^~ 1 
(a'—a y— 1 ) e ~ 3j V— 1 -f (b'—b y/—1 )e —x ^~‘-{-(c—c [/ — 1 )e x y'~ l -f- (d'—d [/— 1 ) e ix ^~ 1 ’ 
quantité qui, à raison des trois facteurs de chacun de ses termes , 
peut s’écrire ainsi 
2Ôv /_, l /V / -i + ^-C^+v)v / -> 
’ 1 +f e -& x + x ) v 7117 * ‘ e -x>/-i + he (x+,)V-t * 
Les deux premiers facteurs se développeront, en prenant leurs lo 
garithmes, comme dans le cas précédent ; quant au troisième fac 
teur, si h est plus petit que l’unité, il se mettra sous la forme 
,W-i 1 + . 
' 1 -f- he^ x + ^ V'" 1 ? 
e 
et si h est plus grand que l’unité, il se mettra sous la forme 
e — (ax+'ivV—I 
prenant ensuite les logarithmes on aura, dans les deux cas , des 
séries convergentes. 
120. En général si on a tang j = — , P et Q étant des fonc 
tions rationnelles et entières de tang x, la valeur dej pourra lou- 
jours être développée en un nombre k de séries de la forme 
Ax -j-B dz [y sin ô sin (2X -f- ci) -{-| f* sin 2G sin (4x-f~2Ct) 
+i/ 3 sin 3G sin (6x-j~5a) -f- etc.], 
k étant le plus haut exposant de tang x dans les fonctions P et Q. 
Si la valeur de tangjr est donnée par une fonction rationnelle de