a54 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL 
i3o. Théorème IV. a La fonction X 2 * est en général décompo- 
» sable en k facteurs de la forme x 2 —a 2 , x 2 — G 2 , x 2 —- y 2 , etc. , 
3) et, G, y , etc. étant des racines réelles, inégales et plus petites 
» que l’unité ; la fonction X 2 *“ 1-1 est composée de k facteurs de même 
» forme , et en outre du facteur x. 3> 
En effets prenons pour exemple la fonction X 8 ; puisque Tinté- 
grale fX*dx, prise depuis x = o jusqu’à x s=s i , est nulle, il faut 
que la fonction X 8 change de signe, au moins une fois, dans cet 
intervalle. Ily aura donc une valeur x = et qui rendra X 8 =o, et cette 
racine sera moindre que l’unité. Soit X 8 = (x 2 —a 2 ) P , on aura par 
l’équation (c),f{x 2 —a 2 )X s dx==o ou f{x 2 — et 2 ) 2 Vdxz=.o. 
Puisque cette intégrale est nulle, il faut que la fonction P change 
de signe, au moins une fois, dans Tintervalie de¿r=o à xz=i. 
Soit G la valeur de x qui rend P = o, on pourra supposer 
p-(f — G 2 ) Q, ce qui donnera X 8 = [x 2 —et 2 )(x 2 — G 2 ) Q. 
Mais par Téquation (c) on a encore f{x 2 — et 2 ) ('x 2 —G 2 )Xddx~ o, 
ou f{x 2 —et 2 ) 2 {x 2 —G 2 ) 2 Qdx = o ; donc la fonction Q doit encore 
s’évanouir depuis x=o jusqu’à x = i. Soit y la valeur de x qui 
rend Q nulle ; on pourra faire Q = (x 2 —- y 2 ) R, ce qui donnera 
X 8 = (x 2 —et 2 )(x 2 —G 2 ) (x 2 —> 2 )R* Enfin on aura encore par l’équa 
tion (c), f(x 2 —et 2 ) (x 2 —G 2 ) (x 2 — y 2 ) X*dx = o, ou f(x 2 — a 2 ) 2 
Çx 2 —G 2 )* (x 2 — y 2 ) 2 Jkdx = o. Donc la fonction R doit s’évanouir 
dans l’intervalle de x =■ o à x = i. Soit cf la valeur correspondante 
de x,. et on aura R — (x 2 — cT 2 ) A, A étant constante , puisque X 8 
est un polynôme du huitième degré. Donc enfin ce polynôme se 
décompose en quatre facteurs de la forme x 2 <— et 2 , de sorte 
qu’on a 
X 8 = A (x 2 —a 2 ) (x 2 —G 2 ) [x 2 — y 2 ) (x 2 — T 2 ), 
a, G, y, d'étant des racines plus petites que l’unité. Quant au 
coefficient A, il est égal à celui de a? 8 dans X 8 , c’est-à-dire qu’on a 
A q. 11.13.15 
A ~ 2.4.6.8 ' 
Je dis de plus que les racines et, G, y, d sont inégales 
entr’elies; car si on avait, par exemple, et = G , ce qui donnerait 
X 8 = A (x 2 —et 2 ) 2 (x 2 — y 2 )(x 2 — cT 2 ), ü faudrait, d’après Téqua-