Full text: Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures (4/5)

CINQUIÈME PARTIE. § X. 2 55 
tion ( c ) , qu’on eût f ( x 2 — y % ) ( x 2 — ¿T 2 ) X 8 dx = o , ou 
f (oc*-—et 2 )* (x 2 — > 2 ) 2 (x 2 — cT 2 ) 2 dx = o, ce qui est impossible. 
La même démonstration aura lieu pour toute autre fonction X"; 
il faudra seulement, lorsque n sera impair, joindre le facteur x aux 
facteurs x 2 —a 2 , (x 2 —a 2 ) (x 2 — £ 2 ), etc. employés dans la dé 
monstration précédente. 
i3i. La valeur de X" donnée par la formule (a) 9 prend les deux 
formes suivantes, selon que n est pair ou impair : 
X 2 *= 
0) 
TÇjlk-k-l 
s/î —f— i.2&—j—3.../^k—\f ^ k k zk—i 
2.4.6. ...2,k \ X l'4k—l 
ak+5.Qk+'5...4k-\-\/ zk+i 
2.4.6 2/i \ x'4û—j~x 
^2.k—2. 
k.k—1 2 k l.zk—3 
1.2 ’4k—1.4k—3 X 
k.k 1 2^î—}— 1 .Q,k—1 
1.2 '4k-i~i.4k-j-3 x 
E?1— ■t—etc. 
E * 3 —-etc. 
Soit x 2 =jr, les polynômes compris dans ces expressions, étant 
désignés, l’un par Y, l’autre par xY'., on aura 
k Q.k—1 , 
?4^=T y 
k zk+1 ^ 
T4k+iy ' 
k.k—1 àk—1.—3 k _ 2 k.k—i.k—22k—i.2/i—3.2A—5 h _ 
1.2 *4*.—1.4Æ—3-y 1.2.3 *4/î—1.4k—5.4k—5^ 
k.k 1 2&-J-I.2& 1 R _ a k.k l.k 2 0.k-\-l .Q,k — \ .2,k 3 k , 
1.2 ‘4A+1.4&—i-^ 1.2.3 '4k-\-i.4k—1.4k—3^ 
Or il résulte du théorème de Earticle précédent, que les équations 
Y = o, Y' = o auront toujours un nombre k de racines réelles, 
inégales, positives et plus petites que l’unité ; cYst ce qu’il serait 
peut-être difficile de démontrer par la seule considération de la loi 
suivant laquelle les polynômes Y et Y' sont formés. 
32. Théorème V. (f L’intégrale f- — : 
i +flir «)*+L 
(-«0* 
, prise depuis 
-. )) 
)) x — 0 jusqu’à x == 1 , est égale à — 
(2k -f- i ) (1 -f- a) 
Pour trouver l’expression générale de celte intégrale que je dé 
signe par Y*, considérons l’intégrale suivante que nous supposerons 
prise entre les mêmes limites 
yy __ i cljc F i 1 
J (1 + ax y L-V'O - a*« + »*) ~ r 
VU + 2 XZ + S 2 ) 
G- 
) 
) 
3 +etc. 
3 -f elc.
	        
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