CINQUIÈME PARTIE. § X. 2 55
tion ( c ) , qu’on eût f ( x 2 — y % ) ( x 2 — ¿T 2 ) X 8 dx = o , ou
f (oc*-—et 2 )* (x 2 — > 2 ) 2 (x 2 — cT 2 ) 2 dx = o, ce qui est impossible.
La même démonstration aura lieu pour toute autre fonction X";
il faudra seulement, lorsque n sera impair, joindre le facteur x aux
facteurs x 2 —a 2 , (x 2 —a 2 ) (x 2 — £ 2 ), etc. employés dans la dé
monstration précédente.
i3i. La valeur de X" donnée par la formule (a) 9 prend les deux
formes suivantes, selon que n est pair ou impair :
X 2 *=
0)
TÇjlk-k-l
s/î —f— i.2&—j—3.../^k—\f ^ k k zk—i
2.4.6. ...2,k \ X l'4k—l
ak+5.Qk+'5...4k-\-\/ zk+i
2.4.6 2/i \ x'4û—j~x
^2.k—2.
k.k—1 2 k l.zk—3
1.2 ’4k—1.4k—3 X
k.k 1 2^î—}— 1 .Q,k—1
1.2 '4k-i~i.4k-j-3 x
E?1— ■t—etc.
E * 3 —-etc.
Soit x 2 =jr, les polynômes compris dans ces expressions, étant
désignés, l’un par Y, l’autre par xY'., on aura
k Q.k—1 ,
?4^=T y
k zk+1 ^
T4k+iy '
k.k—1 àk—1.—3 k _ 2 k.k—i.k—22k—i.2/i—3.2A—5 h _
1.2 *4*.—1.4Æ—3-y 1.2.3 *4/î—1.4k—5.4k—5^
k.k 1 2&-J-I.2& 1 R _ a k.k l.k 2 0.k-\-l .Q,k — \ .2,k 3 k ,
1.2 ‘4A+1.4&—i-^ 1.2.3 '4k-\-i.4k—1.4k—3^
Or il résulte du théorème de Earticle précédent, que les équations
Y = o, Y' = o auront toujours un nombre k de racines réelles,
inégales, positives et plus petites que l’unité ; cYst ce qu’il serait
peut-être difficile de démontrer par la seule considération de la loi
suivant laquelle les polynômes Y et Y' sont formés.
32. Théorème V. (f L’intégrale f- — :
i +flir «)*+L
(-«0*
, prise depuis
-. ))
)) x — 0 jusqu’à x == 1 , est égale à —
(2k -f- i ) (1 -f- a)
Pour trouver l’expression générale de celte intégrale que je dé
signe par Y*, considérons l’intégrale suivante que nous supposerons
prise entre les mêmes limites
yy __ i cljc F i 1
J (1 + ax y L-V'O - a*« + »*) ~ r
VU + 2 XZ + S 2 )
G-
)
)
3 +etc.
3 -f elc.