258 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
donc la fonction Z satisfait à l’équation aux différences partielles 
ddZ 
(l — X 2 ) ^ — — dx ~r - dz 
que l’on peut mettre sous cette forme 
d.{ i —x 2 )dZ . d.z 2 dZ 
dZ , 2 ddZ . dZ 
2X—-h Z z -f- ^ = O , 
(A) 
+ 
dx' 2 1 dz 2 
Si on substitue dans celte équation, au lieu de Z, sa valeur dé 
veloppée 
Z = i + zX 1 + z a X a + z 3 X 3 + z n X n + etc., 
le coefficient de z n , que nous désignons par X", satisfera en général 
a l’équation différentielle du second ordre 
■ dx . !“»(» + i)X" = o, 
ou 
(0 c j ~ x )—.— 2x -nx+ n («+e x =° : 
c’est ce qu’on pourrait vérifier immédiatement par la valeur géné 
rale de X" que donne l’équation (a). 
i34- L’équation précédente donne, par des différentiations réi 
térées 
0—*■ ) ITT — 4^ -^r + («—0 («+ 2 ) = 
dx 2 
, r æx n , , w , „.d 2 x n 
C >—* ) -dIÏ- &X H^ + C"- 2 ) ("+ 3 ) ~dx?~° ’ 
et en général on a entre trois coefficiens consécutifs de la fonc 
tion X", cette équation, 
laquelle peut se mettre sous cette forme: 
H 
d (i —x 2 ) r d r X n 
dx r+ ‘ 
+-(«+;•) (n—H-i) (i— ^ 2 ) r T 
d r -'X n 
dx r ~ l 
O. 
i55. Théorème VL « Les indices m et n étant inégaux , l’in- 
)) tégrale J~ —j-~r • (i —x 2 ) r doc j prise entre les limites jc — —i, 
« x = + 1 ? sera toujours nulle ; si ces indices sont égaux , on