26ô EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL. 
i56. On peut faire sur le théorème Yl, la même observation qui 
a été faite sur le théorème II. Lorsque m — n est impair, ou lorsque 
l’un des nombres m et n est pair et l’autre impair , les coefficiens 
d r X"‘ d r X n •! i - , 
~d~x r ’ ~cbd sont ^ es f° nc ti° ns de 00 9 l’une paire, l’autre impairef 
d r X. m d r X n 
donc le produit (i —- est une fonction impaire de x ; 
or Q désignant une fonction impaire quelconque de x, l’intégrale 
fQdx, prise depuis xz=*—i jusqu’à x = -f- i , est nulle. Ainsi 
lorsque m—n est impair, le théorème n’offre qu’un résultat évident 
par lui-même * mais lorsque m — n est pair, ce théorème cesse 
, . d r X m d r X n 
detre évident ; alors le produit -¿¿r • (i — «r a ) r est une fonc 
tion paire de x ; or une telle fonction étant désignée par P, l’inté 
grale fVdæ, prise depuis x =— i jusqu’à x=-\-ï , sera double 
de la même intégrale, prise depuis x = o jusqu’à x i; donc 
en écartant du théorème les cas qui sont évidens par eux-mêmes , 
on pourra l’énoncer ainsi : 
« Les indices m et« étant inégaux, l’intégrale—x^dx, 
v prise depuis x = o jusqu’à x— i , sera toujours nulle. Si ces 
» indices sont égaux, on aura dans les mêmes limites, 
rd r X m d r X n , N . i 
J W-^r(—0+r)(n+r-0(n+r- 2 )...(n-r+O. 
i5y. Théorème VII. « Si P est une fonction rationnelle et 
» entière de x, de dimension moindre que n— r , l’intégrale 
d r X n ^ T . , T . . 
I, X: 
d r X n 
« fÇi — x*y —¡—¡r P dx , prise entre les limites x = 
» sera nulle. » 
En effet , si on différentie la quantité V — (i — oo?y r A > 
d ( i x' 1 'Vd r X. n 
et qu’on mette au lieu de ——~—-— sa valeur donnée par l’équa 
tion (jn), on aura 
¿V = (i—. dx— (n+r)(n—r+i) (t— x')’-' “yx P dx; 
intégrant de part et d’autre depuis x =— i jusqu’à x ;= + i ^ et